高考数学 考点32 数列的综合问题必刷题 理文档格式.docx
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【答案】C
【解析】由
,则
,所以数列
构成首项为
,公比为
的等比数列,所以
,又当
时,
,
所以当
是成立的,故选C.
4.设等差数列
项和为
,已知
,
,则下列结论正确的是()
C.
5.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:
)()
A.2021年B.2020年C.2019年D.
2018年
【解析】设第
年开始超过
万元,则
,化为
,取
,因此开始超过
万元的年份是
年,故选C.
6.已知数列
,若
________.
【答案】
7.对任一实数序列
,定义新序列
,它的第
项为
,假设序列
的所有项都是
__________.
【答案】100.
【解析】设序列
的首项为
,则序列
,则它的第n项为
,因此序列A的第
项
是关于
的二次多项式,其中
的系数为
,因为
,所以必有
,故
.
8.将正整数
分解成两个正整数的乘积有
三种,其中
是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称
为
的最佳分解.当
(
且
)是正整数
的最佳分解时,我们定义函数
,例如
.则
______,数列
)的前
项和为______.
【答案】0
9.数列
的递推公式为
),可以求得这个数列中的每一项都是奇数,则
__________;
研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个3是该数列的第________项.
【答案】
【解析】由题得:
这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3…
∴
.又因为
即项的值为3时,下角码是首项为3,公比为2的等比数列.
所以第8个3是该数列的第3×
28﹣1=384项.故答案为:
18,384.
10.在数1和2之间插入n个正数,使得这n+2个数构成递增等比数列,将这n+2个数的乘积记为
,令
.
(1)数列
的通项公式为
=____________;
(2)
=___________.
;
故答案为
11.已知数列
满足:
,记数列
项之积为
______.
【答案】2
【解析】因为
,所以
所以数列
是以4为周期的周期数列,
则
12.已知数列
,其中
对
恒成立,则实数
的取值范围为__________.
13.已知数列
表示不超过
的最大整数,则
__________.
【答案】1
14.已知数列
中,
,记
.若
____
【答案】1343
【解析】∵a1=a(0<
a⩽2),
∴a2=−a1+3=3−a∈[1,3).
①当a∈[1,2]时,3−a∈[1,2],∴a3=−a2+3=a,
∴当n=2k−1,k∈N∗时,a1+a2=a+3−a=3,
∴S2k−1=3(k−1)+a=2015,a=1时舍去,a=2时,k=672,此时n=1343;
15.已知无穷数列
的前n项和为
,…,
中奇数的个数为
(Ⅰ)若
=n,请写出数列
的前5项;
(Ⅱ)求证:
"
为奇数,
(i=2,3,4,...)为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若
,i=1,2,3,…,求数列
的通项公式.
(1)见解析;
(2)见解析;
(3)
【解析】
(Ⅰ)解:
.
(Ⅱ)证明:
(充分性)
因为
为偶数,
所以,对于任意
都为奇数.
所以
是单调递增数列.
(不必要性)
当数列
中只有
是奇数,其余项都是偶数时,
为偶数,
均为奇数,
16.已知
…
.记
1)求
的值;
(2)化简
的表达式,并证明:
对任意的
都能被
整除.
(1)30;
(2)证明见解析.
17.若对任意的正整数
,总存在正整数
,使得数列
,则称
是“回归数列”.
)①前
的数列
是否是“回归数列”?
并请说明理由.②通项公式为
并请说明理由;
)设
是等差数列,首项
,公差
是“回归数列”,求
的值.
)是否对任意的等差数列
,总存在两个“回归数列”
和
成立,请给出你的结论,并说明理由.
)见解析;
)
)见解析.
)设等差数列
的公差为
令
,则对
18.无穷数列
为正整数,且对任意正整数
为前
中等于
的项的个数.
,请写出数列
的前7项;
对于任意正整数
,必存在
;
(Ⅲ)求证:
“
”是“存在
,当
时,恒有
成立”的充要条件。
(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1;
(Ⅱ)证明见解析;
(Ⅲ)证明见解析.
后面的项顺次为
,…
……
19.设
为各项不相等的等差数列
项和,已知
(1)求数列
通项公式;
(2)设
为数列
项和,求
(1)
(2)
20.数列a1,a2……an是正整数1,2,……,n的任一排列,且同时满足以下两个条件:
①a1=1;
②当n≥2时,|ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n-1).
记这样的数列个数为f(n).
(I)写出f
(2),f(3),f(4)的值;
(II)证明f(2018)不能被4整除.
(Ⅰ)f
(2)=1,f(3)=2,f(4)=4;
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)根据题意,①a1=1;
②当n⩾2时,|ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n−1);
则f
(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.
把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数
列.
对于n个数的首项最小数列,由于a1=1,故a2=2或3.
(1)若a2=2,则a2-1,a3-1,,an-1构成n-1项的首项最小数列,其个数为f(n-1);
(2)若a2=3,a3=2,则必有a4=4,故a4-3,a5-3,……,an-3构成n-3项的首项最小数列,其个数为f(n-3);
(3)若a2=3,则a3=4或a3=5.设ak+1是这数列中第一个出现的偶数,则前k项应该是1,3,,2k-1,ak+1是2k或2k-2,即ak与ak+1是相邻整数.
由条件②,这数列在ak+1后的各项要么都小于它,要么都大于它,因为2在ak+1之后,故ak+1后的各项都小于它.
这种情况的数列只有一个,即先排递增的奇数,后排递减的偶数.
综上,有递推关系:
f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1,n≥5.
由此递推关系和(I)可得,f
(2),f(3),,f(2018)各数被4除的余数依次为:
1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,…
它们构成
14为周期的数列,又2018=14
144+2,
所以f(2018)被4除的余数与f
(2)被4除的余数相同,都
是1,
故f(2018)不能被4整除.
21.已知
是由正整数组成的无穷数列,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
的最小值记为
(I)若
,是一个周期为
的数列(即对任意
),写出
(II)设
是正整数,证明:
的充分必要条件为
是公比为
的等比数列.
(III)证明:
若
的项只能是
或者
,且有无穷多项为
(I)
(II)见解析;
(III)见解析.
必要性:
∵
,(
),
即非负整数列
各项只能为
或
22.设正项数列
,且满足
的通项公式;
(2)若正项等比数列
,数列
①求
②若对任意
,均有
恒成立,求实数
的取值范围.
23.已知数列
(1)求
及数列
(2)若数列
,求
的最大值和最小值.
时
24.数列
是正整数
的任一排列,且同时满足以下两个条件:
①
②当
时,
(
).
记这样的数列个数为
(I)写出
(II)证明
不能被4整除.
(1)详见解析;
(2)详见解析.
.
把满足条件①②的数列称为
项的首项最小数列.
对于
个数的首项最小数列,由于
或3.
(1)若
构成
项的首项最小数列,其个数为
(2)若
,则必有
25.设
是等差数列
,求证:
(1)设公差为
解得
(2)∵
是等比数列.
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