完整版提公因式法分解因式典型例题docx.docx

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因式分解

（1）

一知识点讲解

知识点一：

因式分解概念：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：

因式分解的结果是几个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：

因式分解与整式的乘法是相反方向的变形

（a

b）2

a2

2ab

b2

a2

2ab

b2

（a

b）2

整

因

式

（a

b）2

a2

2ab

b2

式

a

2

2ab

b2

（a

b）2

乘

分

法

解

（a

b）（a

b）

a2

b2

a2

b2

（a

b）（a

b）

（x3y）（x3y）x29y2x29y2（x3y）（x3y）

知识点二：

寻找公因式

1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：

（短除法）

例如：

求20,36,80的最大公（约）数？

最大公倍数？

1

2、寻找公因式的方法：

3a2y

3ay

6y

，

4xy3

8

x3y2，

9

27

a（x

y）3

b（x

y）2

（xy）3，

-27a2b3

36a3b2

9a2b

1.

确定公因式的系数

当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项

系数的最大公因数；

当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且

分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最

大公因数。

2.

确定相同字母

公因式的字母是各项都含有的字母

3.

看次数

相同字母的指数取最低次数

4.

看整体

如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。

5.

看符号

若多项式的首项是“-”，则公因式的符号一般为负。

知识点三：

因式分解的方法（重点）

（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：

1.提取公因式法：

如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：

mambmcm（abc）

3.提公因式的步骤：

（1）确定公因式

（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）

原多项式

另一个因式

公因式

4.注意事项：

因式分解一定要彻底

二、例题讲解

模块1：

考察因式分解的概念

1.（2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、x296x（x3）（x3）6xB、（x5）（x2）x23x10

C、x28x16（x4）2D、6ab2a3b

2

2.

（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（

）

A、x2

2x

3

（x1）2

2

B

、（x

y）（x

y）

x2

y2

C、x2

xyy2

（xy）2

D

、2x2y2（xy）

3.

（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（

）

A、2

a

2

2

a

12（

a

1）1

B

、（x

y）（x

y）

x

2

y

2

a

C、9x2

6x

1

（3x

1）2

D

、x2

y2

（x

y）2

2xy

4.

（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（

）

A、3x

2y

1

5x1

B

、（3a

2b）（3a

2b）

9a2

4b2

C、x2

x

x2（1

1）

D

、2x2

8y2

2（x

2y）（x

2y）

x

5.

（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）

A、a（ab）

a2

ab

B

、a2

2a1a（a2）1

C、x2

xx（x1）

D

、xy2

x2yx（y2

xy）

6.

（2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（

）

A、（x1）（x2）x23x2C、x24x4x（x4）4

B

、x2

3x2（x1）（x2）

D

、x2

y2

（xy）（xy）

模块2：

考察公因式

1.

（2017春抚宁县期末）多项式

15m3n2

5m2n20m2n3的公因式是（

）

A、5mn

B

、5m2n2

C

、5m2n

D

、5mn2

2.

（2017

春东平县期中）把多项式

8a2b3c16a2b2c2

24a3bc3分解因式，应提的公因

式是（

）

A、8a2bc

B

、2a2b2c3

C

、

4abc

D

、24a3b3c3

3.

（2017

秋凉州区末）多项式a2

9与a2

3a的公因式是（

）

A、a

3

C

、a3

B

、a1

D

、a1

4.

（2017

春邵阳县期中）多项式

8xmyn1

12x3myn的公因式是（

）

A、xmyn

B

、xmyn1

C

、4xmyn

D

、4xmyn1

5.

（2016

春深圳校级期中）多项式

5mx3

25mx210mx各项的公因式是（

）

3

A、5mx2

B

、

5mx3

C

、mx

D

、5mx

6.

下列各组代数式中没有公因式的是（

）

A、5m（a

b）与ba

B

、（ab）2

与

a

b

C、mx

y与xy

D

、a2

ab与a2bab2

7.

观察下列各组式子：

①

2ab和a

b；②5m（a

b）和

a

b；③3（a

b）和

ab；

④x2

y2和x2

y2。

其中有公因式的是（

）

A、①②

B

、②③

C

、③④

D

、①④

模块3：

利用提公因式法分解因式

①因式分解的第一种类型：

直接提取公因式

1、分解因式：

（1）x23x

（2）2x218x2y4xy2（3）6a（ab）4b（ab）

（4）

1abc

1ab2

a2bc

（5）

1

a2b

5

a

（6）xn

xn1

xn2

5

5

4

6

②因式分解的第二种类型：

变形后提取公因式

2.分解因式：

（1）3a（xy）6b（yx）

（2）a（xy）b（yx）c（xy）

③因式分解的第三种类型：

分组后提取公因式

3.分解因式：

（1）mxmynxny

（2）2a4b3ma6mb

4

模块4：

提公因式法的综合应用

类型1：

利用提公因式法进行简便计算

1.利用简便方法计算：

（1）3.2200.94.7200.9200.92.1

（2）36.813

1320.22

13

55

55

55

类型2：

利用提公因式法进行化简求值

2.先分解因式，在计算求值：

（2x1）2（3x2）（2x1）（3x2）2x（12x）（3x2）其中x=1.5

3.（2016秋唐河县期末）已知：

ab

2015，ab

2016，求a2b

ab2的值。

2015

4.已知ab4，ab2，求多项式4a2b4ab24a4b的值。

5.若ab210，用因式分解法求ab（a2b5ab3b）的值.

5

6.若a2a10，则a2016a2015a2014=。

2x

y

6

2

2（3y

x）3的值。

7.不解方程组

3y

求7y（x3y）

x

1

类型3：

拔高培优题型

8.（2015杭州模拟）已知（19x31）（13x17）（17

13x）（11x23）可因式分解成

（axb）（30xc），其中a、b、c均为整数，求a

bc的值。

9.已知多项式x4

2012x2

2011x

2012有一个因式为x2

ax1，另一个因式为

x2

bx2012，求ab的值。

10.求证：

320164320151032014能被7整除。

6

11.已知a,b,c满足ababbcbccaca3，求（a1）（b1）（c1）的值。

（a,b,c都是正整数）

12.（学霸题中题★★★）若

x2

x

1是ax3

bx2

1的一个因式，则

b的值为（

）

A、2

B、1

C、0

D、2

13.（2017合肥月考★★★）要使多项式x22xn能分解为两个整系数一次多项式之积，

则不大于100的自然数n的个数为（）

A、8B、9C、10D、11

14.（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答