《数值计算方法》试题集及答案162Word文档格式.docx
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用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。
15、设,则,的二次牛顿插值多项式为。
16、求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有()次代数精度。
17、已知f
(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求(12)。
18、设f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=0,用三点式求(2.5)。
19、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分(10)次。
20、已知是三次样条函数,则=(3),=(3),=
(1)。
21、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
(1),(),当时()。
22、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_2_阶的连续导数。
23、改变函数()的形式,使计算结果较精确。
24、若用二分法求方程在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10次。
25、设是3次样条函数,则a=3,b=-3,c=1。
26、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用477个求积节点。
27、若,则差商3。
28、数值积分公式的代数精度为2。
选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。
A2B5C3D42、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C观察与测量D数学模型准确值与实际值3、3.141580是的有(B)位有效数字的近似值。
A6B5C4D74、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。
A模型B观测C截断D舍入5、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。
A舍入B观测C模型D截断6、-3247500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字。
A5B6C7D87、设f(-1)=1,f(0)=3,f
(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。
A05B05C2D-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。
A3B4C5D29、(D)的3位有效数字是0.236102。
(A)0.0023549103(B)2354.82102(C)235.418(D)235.5410110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)。
(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。
(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D)12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。
13、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)。
(A)(B)(C)(D)14、在牛顿-柯特斯求积公式:
中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1),
(2),(3),(4),23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。
(1)二次;
(2)三次;
(3)四次;
(4)五次15、取计算,下列方法中哪种最好?
()(A);
(B);
(C);
(D)。
26、已知是三次样条函数,则的值为()(A)6,6;
(B)6,8;
(C)8,6;
(D)8,8。
16、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是()1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A);
17、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A);
18、计算的Newton迭代格式为()(A);
19、用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为,则对分次数至少为()(A)10;
(B)12;
(C)8;
(D)9。
20、设是以为节点的Lagrange插值基函数,则()(A);
33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有()次代数精度(A)5;
(B)4;
(C)6;
(D)3。
21、已知是三次样条函数,则的值为()(A)6,6;
35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛的是()(A);
22、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4;
(B)2;
(C)1;
23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;
(B)9;
(C)10;
(D)11。
三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打,否则打)1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。
()2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。
()3、表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
()5、矩阵A=具有严格对角占优。
()四、计算题:
1、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度;
利用此公式求(保留四位小数)。
是精确成立,即得求积公式为当时,公式显然精确成立;
当时,左=,右=。
所以代数精度为3。
2、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数)。
差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求的二次拟合曲线,并求的近似值。
解:
0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为6、已知区间0.4,0.8的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?
并求该近似值。
应选三个节点,使误差尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点最好,实际计算结果,且7、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。
令.且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为则当时,故迭代格式收敛。
取,计算结果列表如下:
n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足.所以.10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
当0x1时,ex,则,且有一位整数.要求近似值有5位有效数字,只须误差.由,只要即可,解得所以,因此至少需将0,168等份。
12、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。
又故截断误差。
14、给定方程1)分析该方程存在几个根;
2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;
3)说明所用的迭代格式是收敛的。
1)将方程
(1)改写为
(2)作函数,的图形(略)知
(2)有唯一根。
2)将方程
(2)改写为构造迭代格式计算结果列表如下:
k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463),当时,且所以迭代格式对任意均收敛。
15、用牛顿(切线)法求的近似值。
取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。
是的正根,牛顿迭代公式为,即取x0=1.7,列表如下:
1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2,f
(1)=3,f
(2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f(1,5)的近似值,取五位小数。
17、n=3,用复合梯形公式求的近似值(取四位小数),并求误差估计。
,时,至少有两位有效数字。
20、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:
1925303819.032.349.073.3解:
解方程组其中解得:
所以,21、(15分)用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算时,试用余项估计其误差。
用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。
22、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式
(1)对应迭代格式;
(2)对应迭代格式;
(3)对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。
(1),故收敛;
(2),故收敛;
(3),故发散。
选择
(1):
,25、数值积分公式形如试确定参数使公式代数精度尽量高;
(2)设,推导余项公式,并估计误差。
将分布代入公式得:
构造Hermite插值多项式满足其中则有:
,27、(10分)已知数值积分公式为:
,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
显然精确成立;
时,;
所以,其代数精确度为3。
28、(8分)已知求的迭代公式为:
证明:
对一切,且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛。
故对一切。
又所以,即序列是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。
29、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?
为什么?
其代数精度是多少?
是。
因为在基点1、2处的插值多项式为。
其代数精度为1。
30、(6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。
(6分),n=0,1,2,对任意的初值,迭代公式都收敛。
31、(12分)以100,121,
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- 数值计算方法 数值 计算方法 试题 答案 162