广东省普宁华侨中学届高三摸底考试数学文.docx
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广东省普宁华侨中学届高三摸底考试数学文
2019学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试试题
文科数学
参考公式:
棱锥的体积公式:
.其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集,集合,,那么()
A.B.C.D.
2.函数是()
A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数
3.(其中)的图象如图1所示,则函数的图象是图2中的()
图1图2
4.已知,i是虚数单位,且则的值是()
A.2B.C.D.
5.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是()
A.若则B.若则
C.若则D.若则
6.设变量满足约束条件:
,则的最小值为()
A.B.C.D.
7.已知数列的前项和,则=()
A.36B.35C.34D.33
8.在中,角所对的边分别为,若,
,则()
A.B.
C.D.
9.若右边的程序框图输出的是126,则条件①可为()
A.B.C.D.
10.设向量,,定义一运算:
已知,。
点Q在的图像上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别是()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分.)
11.设平面向量,则.
12.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表所示,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取100人,则应在高三级中抽取的学生人数为.
高一级
高二级
高三级
女生
375
x
y
男生
385
360
z
13.已知函数,则.
★(请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)
14.(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程是,则它的圆心到直线:
(为参数)的距离等于.
15.(几何证明选讲选做题)如右图,从圆外一点引圆
的切线和割线,已知,,
圆的半径为,则圆心到直线的距离为.
三、解答题(本部分共计6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请在指定区域内作答,否则该题计为零分.)
16.(本小题满分12分)
已知向量,,函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中,分别是角的对边,且,,,且,求的值.
17.(本小题满分12分)
某校从高三年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考
试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分
成六段:
,,…,后得到如图4的
频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高三年级共有学生640人,试估计该校高三年级
期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学
生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差
的绝对值不大于10的概率.
18.(本小题满分14分)
如图:
、是以为直径的圆上两点,,,是上一点,且,将圆沿直径折起,使点在平面的射影在上,已知.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面;
(3)求三棱锥的体积.
19.(本小题满分14分)
设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.
⑴求数列的通项公式;
⑵若,求数列的前项和.
20.(本小题满分14分)
已知点是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为,椭圆的左右焦点分别为和。
(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)点M在椭圆上,求⊿MF1F2面积的最大值;
(Ⅲ)试探究椭圆上是否存在一点P,使,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若对于任意都有成立,求实数的取值范围;
(3)若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
2019学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试文科数学参考答案
一.选择题(10小题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
A
C
C
B
B
C
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分)
11.12.2513.14.15.
三.解答题(本部分共计6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题满分12分)
解:
(1)……2分
………4分
∴函数的最小周期………5分
(2)
是三角形内角,∴即:
………7分
∴即:
.………9分
将代入可得:
,解之得:
∴,………11分
∴,.………12分
17.(本小题满分12分)
(1)解:
由于图中所有小矩形的面积之和等于1,
所以.………………………………………………1分
解得.……………………………………………………………………………………………2分
(2)解:
根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为.…………3分
由于该校高三年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为人.…………………………………………………………………5分
(3)解:
成绩在分数段内的人数为人,分别记为,.……………………6分
成绩在分数段内的人数为人,分别记为,,,.…………………7分
若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:
,,,,,,,,,,,,,,共15种.…………………………………………9分
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内,另一个成绩在分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件,则事件包含的基本事件有:
,,,,,,共7种.……………………11分
所以所求概率为.…………………………………………………………………………12分
18.(本题满分14分)
解:
(1)证明:
依题意:
…………………………2分
平面∴……………4分
∴平面.……………………5分
(2)证明:
中,,∴…………………………6分
中,,∴.…………………………7分
∴.…………………………………………………………8分
∴在平面外∴平面.…………10分
(3)解:
由题设知,,……………11分
∴………12分
平面∴.……14分
19.(本小题满分14分)
解:
⑴因为点在直线上,所以……1分,
当时,……2分,两式相减得
,即,……3分
又当时,,……4分
所以是首项,公比的等比数列……5分,
的通项公式为……6分.
⑵由⑴知,……7分,记数列的前项和为,则
……8分,
……9分,两式相减得
……11分,
……13分,
所以,数列的前项和为……14分.
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)设椭圆方程为.由已知,-------2分
,.解得-------4分
∴所求椭圆方程为-----------------5分
(Ⅱ)令,则------7分
∵,故的最大值为-----8分
∴当时,的最大值为。
-----9分
(Ⅲ)假设存在一点P,使,∴,---10分
∴⊿PF1F2为直角三角形,∴①-------11分
又∵②--------------12分
∴②2-①,得∴--------------13分
即=5,但由
(1)得最大值为,故矛盾,
∴不存在一点P,使--------------14分
21.(本题满分14分)
解:
(1)当时,,得.…1分
因为,所以当时,,函数单调递增;
当或时,,函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.………4分
(2)方法1:
由,得,
因为对于任意都有成立,
即对于任意都有成立,
即对于任意都有成立,…………6分
令,要使对任意都有成立,
必须满足或………………………………………………8分
即或………………………………9分
所以实数的取值范围为.………………………10分
方法2:
由,得,
因为对于任意都有成立,
所以问题转化为,对于任意都有.………6分
因为,其图象开口向下,对称轴为.
①当时,即时,在上单调递减,
所以,由,得,此时.………………7分
②当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,
所以,
由,得,此时.……8分
综上①②可得,实数的取值范围为.……………10分
(3)设点是函数图象上的切点,
则过点的切线的斜率为,
所以过点的切线方程为.………11分
因为点在切线上,
所以,即.……………12分
若过点可作函数图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.……………13分
令,则函数与轴有三个不同的交点.
令,解得或.
因为,,所以必须,即.
所以实数的取值范围为.……………14分
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- 广东省 普宁 华侨 中学 届高三 摸底 考试 数学