全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲矩阵与变换Word格式.docx
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的距离等于圆
的半径,所以直线
与⊙
相切.
(Ⅱ)因为
所以
不是
四点所在圆的圆心,设
是
四点所在圆的圆心,作直线
.
由已知得
在线段
的垂直平分线上,又
的垂直平分线上,所以
同理可证,
.所以
四点共圆、直线与圆的位置关系及证明
【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有:
平行线分线段成比例定理;
三角形的相似与性质;
四点共圆;
圆内接四边形的性质与判定;
切割线定理.
4.(2016全国Ⅱ文、理)如图,在正方形
中,
分别在边
上(不与端点重合),且
,过
点作
,垂足为
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若
,
为
的中点,求四边形
的面积.
(Ⅰ)详见解析;
(Ⅱ)
.
(II)由
四点共圆,
知
,连结
由
斜边
的中点,知
故
因此四边形
的面积
面积
的2倍,即
三角形相似、全等,四点共圆
【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;
可间接证明线段相等.
5.(2016全国Ⅲ文、理)如图,
中
的中点为
,弦
分别交
于
两点.
(I)若
,求
的大小;
(II)若
的垂直平分线与
的垂直平分
线交于点
,证明
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)见解析.
,所以
由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,
又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆
的圆心,所以
的垂直平分线上,又
也在
的垂
直平分线上,因此
1、圆周角定理;
2、三角形内角和定理;
3、垂直平分线定理;
4、四点共圆.
【方法点拨】
(1)求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识,经过不断的代换可求得结果;
(2)证明两条直线的夂垂直关系,常常要用到判断垂直的相关定理,如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等.
6.(2016天津文、理)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为__________.
【解析】
试题分析:
设
,则由相交弦定理得
,又
,因为
直径,则
在圆中
,则
,即
,解得
相交弦定理
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;
(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
二、坐标系与参数方程:
选修4-4:
坐标系与参数方程
1.(2016北京理)在极坐标系中,直线
与圆
交于A,B两点,则
______.
【答案】2
极坐标方程与直角方程的互相转化.
【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程,直接利用公式
即可.将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程,要灵活运用x=
以及
,同时要掌握必要的技巧.
2.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
(t为参数),椭圆C的参数方程为
(
为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
直线与椭圆参数方程
【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法.
2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.
3.(2016全国Ⅰ文、理)在直角坐标系x
y中,曲线C1的参数方程为
(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=
(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(II)直线C3的极坐标方程为
其中
满足tan
=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
(I)圆,
(II)1
试题解析:
(
均为参数),∴
①
∴
为以
为圆心,
为半径的圆.方程为
∵
∴
即为
的极坐标方程
两边同乘
得
②
:
化为普通方程为
由题意:
和
的公共方程所在直线即为
①—②得:
即为
参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.
4.(2016全国Ⅱ文、理)在直角坐标系
中,圆
的方程为
(Ⅰ)以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,求
的极坐标方程;
(Ⅱ)直线
的参数方程是
为参数),
与
交于
两点,
的斜率.
(I)由
可得
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
所对应的极径分别为
将
的极坐标方程代入
的极坐标方程得
于是
所以
的斜率为
或
圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点:
在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
5.(2016全国Ⅲ文、理)在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
,以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线
(I)写出
的普通方程和
的直角坐标方程;
(II)设点
上,点
上,求
的最小值及此时
的直角坐标.
的普通方程为
的直角坐标方程为
.5分
(Ⅱ)由题意,可设点
的直角坐标为
是直线,所以
的最小值即为
到
的距离
的最小值,
.………………8分
当且仅当
时,
取得最小值,最小值为
,此时
.………………10分
1、椭圆的参数方程;
2、直线的极坐标方程.
【技巧点拨】一般地,涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等,当直接处理不好下手时,可考虑利用椭圆的参数方程进行处理,设点的坐标为
,将其转化为三角问题进行求解.
6.(2016上海理)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
极坐标系
【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题,从解法上看,一是可通过记忆比对,作出判断,二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性,能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.
三、不等式选讲选:
选修4-5:
不等式选讲
1.(2016江苏)设a>0,|x-1|<
,|y-2|<
,求证:
|2x+y-4|<a.
【答案】试题分析:
利用含绝对值的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|进行放缩证明
证明:
因为
含绝对值的不等式证明
【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时,可借助绝对值三角不等式性质定理:
||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项来放缩求解,但一定要注意取等号的条件.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.
2.(2016全国Ⅰ文、理)已知函数
(I)在答题卡第(24)题图中画出
的图像;
(II)求不等式
的解集.
(I)见解析(II)
如图所示:
分段函数的图像,绝对值不等式的解法
【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.
3.(2016全国Ⅱ文、理)已知函数
为不等式
(Ⅰ)求
(Ⅱ)证明:
当
(Ⅱ)详见解析.
(I)
时,由
解得
的解集
绝对值不等式,不等式的证明.
【名师点睛】形如
(或
)型的不等式主要有三种解法:
(1)分段讨论法:
利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为
(此处设
)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)几何法:
利用
的几何意义:
数轴上到点
的距离之和大于
的全体,
(3)图象法:
作出函数
的图象,结合图象求解.
4.(2016全国Ⅲ文、理)已知函数
(I)当
时,求不等式
的解集;
(II)设函数
.当
的取值范围.
(Ⅰ)当
解不等式
,得
因此,
的解集为
.………………5分
(Ⅱ)当
时等号成立,
所以当
等价于
.①……7分
时,①等价于
,无解;
的取值范围是
1、绝对值不等式的解法;
2、三角形绝对值不等式的应用.
【易错警示】对
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