新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版建立动点问题的函数解析式双动点问题因动点产生的最值问题Word格式文档下载.docx
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C.
D.
思路分析:
根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式,然后对x从0到2a+2
a时分别进行分析,并写出分段函数,结合图象得出答案.
解:
设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动,∵正方形ABCD的边长为a,∴BD=
a,则当0≤x<a时,y=x,当a≤x<(1+
)a时,y=
,当a(1+
)≤x<a(2+
)时,y=
,当a(2+
)≤x≤a(2+2
)时,y=a(2+2
)﹣x,结合函数解析式可以得出第2,3段函数解析式不同,得出A选项一定错误,根据当a≤x<(1+
)a时,函数图象被P在BD中点时,分为对称的两部分,故B选项错误,再利用第4段函数为一次函数得出,故C选项一定错误,故选:
D.
点评:
此题主要考查了动点问题的函数图象问题;
根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键.
对应训练1.(中招内江)如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒),y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
∵正△ABC的边长为3cm,∴∠A=∠B=∠C=60°
,AC=3cm.
如图,D为AB的中点,连结CD,则:
AD=BD=1.5(cm),CD=
(cm)。
①当0≤x≤1.5时,即点P在线段AD上时,AP=xcm(0≤x≤1.5),则
,即y=x2﹣3x+9(0≤x≤1.5);
②当1.5<
x≤3时,即点P在线段AD上时,AP=xcm(1.5<
x≤3),则
,即y=x2﹣3x+9(1.5<
x≤3);
综上,当0≤x≤3时,y=x2﹣3x+9,该函数图象是开口向上的抛物线;
③当3<x≤6时,即点P在线段BC上时,PC=(6﹣x)cm(3<x≤6);
则y=(6﹣x)2=(x﹣6)2(3<x≤6),
∴该函数的图象是在3<x≤6上的抛物线;
故选C.
(二)应用比例式建立函数解析式(或函数图像)
例2(中招攀枝花)如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA→AD→DC运动,到达C点时停止;
F点沿OC运动,到达C点是停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动x秒时,△EOF的面积为y(平方单位),则y关于x的函数图象大致为( )
A.
B.
首先根据点D的坐标求得点A的坐标,从而求得线段OA和线段OC的长,然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况.
∵D(5,4),AD=2.∴OC=5,CD=4OA=5,∴运动x秒(x<5)时,OE=OF=x,作EH⊥OC于H,AG⊥OC于点G,∴EH∥AG,∴△EHO∽△AGO,
即:
,∴EH=
x,S△EOF=
OF•EH=
×
x×
x=
x2,故A、B错误;
当点F运动到点C时,点E运动到点A,此时点F停止运动,点E在AD上运动,△EOF的面积不变,点E在DC上运动时,如右图,EF=11﹣x,OC=5,∴S△EOF=
OC•CE=
(11﹣x)×
5=﹣
x+
是一次函数,故C正确,故选C.
本题考查了动点问题的函数图象,解题的关键是根据动点确定分段函数的图象.
对应训练2.(中招贵港)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且∠ACB=90°
,AB=5,BC=3,点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H.
(1)直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式;
(3)当PH与⊙O相切时,求相应的y值.
(1)连接AO、DO.设⊙O的半径为r.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=
=4,则⊙O的半径r=
(AC+BC﹣AB)=
(4+3﹣5)=1;
∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°
,∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°
,CF=CE,∴四边形CEOF是正方形,
∴CF=OF=1;
又∵AD、AF是⊙O的切线,∴AF=AD;
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3,即AD=3;
(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,∵∠C=90°
,PH⊥AB,∴∠C=∠PHA=90°
,∵∠A=∠A,∴△AHP∽△ACB,∴
=
,即
,∴y=﹣
x+4,即y与x的函数关系式是y=﹣
x+4;
(3)如图,P′H′与⊙O相切.∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°
,OM=OD,∴四边形OMH′D是正方形,
∴MH′=OM=1;
由
(1)知,四边形CFOE是正方形,CF=OF=1,∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;
又由
(2)知,y=﹣
x+4,∴y=﹣
y+4,解得,y=
.
(三)应用求图形面积的方法建立函数关系式
例3(中招桂林)如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:
△AED≌△CFD;
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;
设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.
(1)利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
,进而得到AD=BD=DC,为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件;
(2)利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9即可得到y与x之间的函数关系式;
(3)依题意有:
AF=BE=x﹣6,AD=DB,∠ABD=∠DAC=45°
得到∠DAF=∠DBE=135°
,从而得到△ADF≌△BDE,利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式.
(1)证明:
∵∠BAC=90°
AB=AC=6,D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC(2分)
∵AE=CF∴△AED≌△CFD
(2)解:
依题意有:
FC=AE=x,∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9
∴
∴
;
(3)解:
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=
本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质,考查的知识点虽然不是很多但难度较大.
对应训练3.(中招桂林)如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是( )
A
B
C
D
①点P在AB上运动,点Q在BC上运动,此时AP=t,QB=2t,故可得S=
AP•QB=t2,函数图象为抛物线;
②点P在AB上运动,点Q在CD上运动,此时AP=t,△APQ底边AP上的高维持不变,为正方形的边长4,故可得S=
AP×
4=2t,函数图象为一次函数.综上可得总过程的函数图象,先是抛物线,然后是一次增函数.选D.
(四)以双动点为载体,探求函数图象问题
例4(中招荆门)如图
(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图
(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:
①AD=BE=5;
②cos∠ABE=
③当0<t≤5时,y=
t2;
④当t=
秒时,△ABE∽△QBP;
其中正确的结论是 (填序号).
根据图
(2)可以判断三角形的面积变化分为三段,可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C,从而得到BC、BE的长度,再根据M、N是从5秒到7秒,可得ED的长度,然后表示出AE的长度,根据勾股定理求出AB的长度,然后针对各小题分析解答即可.
根据图
(2)可得,当点P到达点E时点Q到达点C,∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒,∴BC=BE=5,
∴AD=BE=5,故①小题正确;
又∵从M到N的变化是2,∴ED=2,∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3,
在Rt△ABE中,AB=
=4,∴cos∠ABE=
,故②小题错误;
过点P作PF⊥BC于点F,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠PBF,∴sin∠PBF=sin∠AEB=
,
∴PF=PBsin∠PBF=
t,∴当0<t≤5时,y=
BQ•PF=
t•
t=
t2,故③小题正确;
当t=
秒时,点P在CD上,此时,PD=
﹣BE﹣ED=
﹣5﹣2=
PQ=CD﹣PD=4﹣
,∵
,∴
,又∵∠A=∠Q=90°
,∴△ABE∽△QBP,故④小题正确.综上所述,正确的有①③④.
本题考查了动点问题的函数图象,根据图
(2)判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键,也是本题的突破口.
(五)以双动点为载体,探求函数最值问题
例5(中招张家界)如图,抛物线y=﹣x2+
x+2与x轴交于C、A两点,与y轴交于点B,OB=2.点O关于直线AB的对
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