三角函数的概念三角恒等变换 专题Word格式.docx
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,sinθ=
因为向量
后得到
设Q(x,y),则x=10cos
=10
=-7
y=10sin
=-
所以点Q的坐标为
,故选A.
2.若角θ的终边过点P(3,-4),则tan(θ+π)等于( )
A.
B.-
C.
D.-
答案 D
解析 因为角θ的终边过点P(3,-4),则tanθ=-
,则tan(θ+π)=tanθ=-
.
3.已知角θ的终边经过点
,若sinθ=2
sin
cos
,则实数a等于( )
A.-
B.-
C.±
D.±
答案 B
解析 由题意知2sin2
-1=-cos
得sinθ=
=-2
,且a<
0,
解得a=-
.故选B.
4.函数y=
的定义域是__________________.
答案
,k∈Z
考点二 三角函数的求值与化简
(1)同角三角函数基本关系式:
sin2α+cos2α=1,
=tanα
(2)诱导公式:
角
π±
α(k∈Z)的三角函数口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)和差公式.
方法技巧
(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”:
注意角的变形;
看函数名称之间的关系;
观察式子的结构特点.
(2)公式的变形使用尤其是二倍角的余弦公式的变形是高考的热点,sin2α=
,cos2α=
5.(优质试题·
湖北长望浏宁四县调研)若sin
=
,则sin
的值为( )
C.
解析 ∵sin
∴sin
=cos
=cos2
=1-2sin2
=1-2×
6.若tanα=2tan
,则
等于( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 cos
=sin
,
所以原式=
=3.
7.若cos
,sin
,α∈
,β∈
,则sin(α+β)=_______.
解析 ∵α∈
,且cos
>
0,∴-
<
-α<
0,∵β∈
,∴
+β<
又cos
,sin
,cos
∴sin(α+β)=sin
-cos
sin
×
-
8.已知cos(2α-β)=-
,sin(α-2β)=
,0<β<
<α<
,则α+β=________.
解析 因为0<
β<
<
α<
所以
2α<
π,-
-β<
2α-β<
π.
又因为cos(2α-β)=-
所以sin(2α-β)=
因为0<
所以-
-2β<
α-2β<
又因为sin(α-2β)=
所以cos(α-2β)=
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
+
又因为
<α+β<
所以α+β=
考点三 三角恒等变换的应用
辅助角公式:
asinα+bcosα=
·
sin(α+φ),其中cosφ=
,sinφ=
9.(2016·
全国Ⅱ)函数f(x)=cos2x+6cos
的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
解析 由f(x)=cos2x+6cos
=1-2sin2x+6sinx=-2
2+
因为sinx∈[-1,1],
所以当sinx=1时函数f(x)取得最大值,最大值为5,故选B.
10.(优质试题·
全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=
,则|a-b|等于( )
B.
D.1
解析 由cos2α=
,得cos2α-sin2α=
∴
,又cosα≠0,∴
∴tanα=±
即
=±
∴|a-b|=
故选B.
11.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________.
答案 -
解析 f(x)=sinx-2cosx=
sin(x-φ),
其中sinφ=
,cosφ=
当x-φ=2kπ+
(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,
即当θ=2kπ+
+φ(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,
所以cosθ=-sinφ=-
12.函数f(x)=sinx-cos
的值域为________.
答案 [-
]
解析 f(x)=sinx-cos
=sinx-
sinx-
cosx
∈[-
].
济南模拟)若sin
,A∈
,则sinA的值为( )
或
D.
解析 ∵A∈
,∴A+
∈
∴cos
0,∴cos
∴sinA=sin
2.若tan
,且-
<α<0,则
=________.
解析 由tan
,得tanα=-
又-
<α<0,所以sinα=-
故
=2
sinα=-
3.已知sinθ+cosθ=
,θ∈(0,π),则tanθ的值为________.
解析 ∵sinθ+cosθ=
,θ∈(0,π),
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=
∴sinθcosθ=-
∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=
又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,
∴sinθ-cosθ=
∴sinθ=
,cosθ=-
∴tanθ=-
解题秘籍
(1)使用平方关系求函数值,要注意角所在的象限和三角函数值的符号.
(2)利用三角函数值求角要解决两个要素:
①角的某一个三角函数值;
②角的范围(尽量缩小).
1.已知点A的坐标为(4
,1),将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转
至OB,则点B的纵坐标为( )
解析 由题意知|OA|=|OB|=7,设射线OA与x轴正方向所成的角为α,
显然sinα=
,cosα=
故sin
=sinαcos
+cosαsin
故点B的纵坐标为|OB|sin
2.已知P(m,2)为角α的终边上一点,且sinα=-
,则tanα的值为( )
C.1D.-1
解析 由题意知,
故m=-2,所以tanα=-1.
3.(优质试题·
全国Ⅲ)若sinα=
,则cos2α等于( )
C.-
解析 ∵sinα=
,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×
2=
4.
的值是( )
解析 原式=
5.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列说法错误的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.直线x=
是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在
上单调递增
D.|f(x)|的值域是[0,1]
解析 f(x)=cos2x,f(x)在
上不单调,
∴选项C中的结论错误.
6.记a=sin(cos2010°
),b=sin(sin2010°
),c=cos(sin2010°
),d=cos(cos2010°
),则a,b,c,d中最大的是( )
A.aB.bC.cD.d
解析 注意到2010°
=360°
5+180°
+30°
,因此sin2010°
=-sin30°
,cos2010°
=-cos30°
,因为-
<-
<0,-
<0,0<
<
,所以cos
>cos
>0,所以a=sin
=-sin
<0,b=sin
<0,c=cos
>d=cos
>0,因此c最大.
7.已知sinα=
+cosα,且α∈
+cosα,
∴sinα-cosα=
两边平方,得1-2sinαcosα=
∴2sinαcosα=
∴1+2sinαcosα=
即(sinα+cosα)2=
∵α∈
,∴sinα+cosα=
(sinα+cosα)=-
8.定义2×
2矩阵
=a1a4-a2a3,若f(x)=
,则( )
A.f(x)图象关于(π,0)中心对称
B.f(x)图象关于直线x=
对称
C.f(x)在区间
D.f(x)是周期为π的奇函数
解析 由题中所给定义可知,f(x)=cos2x-sin2x-
=cos2x+
sin2x=2cos
令-π+2kπ≤2x-
≤2kπ,k∈Z,
得-
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,
所以f(x)在区间
上单调递增.
9.函数f(x)=
cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tanθ=________.
解析 因为函数f(x)=
cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,所以f(0)=
cosθ+sinθ=0,得ta
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