初中几何证明题库菱形Word文件下载.docx
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,
∴AE=AB=AD,
在三角形AED中,AE=AD,∠DAE=80°
∴∠ADE=50°
又∵∠B=80°
∴∠ADC=80°
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°
.
故选C.
点评:
本题是简单的推理证明题,主要考查菱形的边的性质,同时综合利用三角形的内角和和等腰三角形的性质.
已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则
的值是.
6.如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是【】
A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里
7.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°
,若DE⊥AB,垂足为点E,则DE的长为▲.
2.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°
例5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF。
求证:
AE=AF。
【答案】证明:
连接CE。
∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,。
又∵AO=CO,∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。
∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知,根据AAS可证得△AEO≌△CFO,从而得AE=CF。
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。
由EF⊥AC,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。
根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
3.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=
,则菱形ABCD的面积为
▲cm2.
例1.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’F
CD时,
的值为【】
A.
B.
C.
D.
【答案】A。
【考点】翻折变换(折叠问题),菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′,交于点M,
∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°
∴∠DCB=∠A=60°
,AB∥CD。
∴∠D=180°
-∠A=120°
。
根据折叠的性质,可得
∠A′D′F=∠D=120°
∴∠FD′M=180°
-∠A′D′F=60°
∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°
,∠M=90°
-∠FD′M=30°
∵∠BCM=180°
-∠BCD=120°
,∴∠CBM=180°
-∠BCM-∠M=30°
∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x,D′F=DF=y,则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。
∴FM=CM+CF=2x+y,
在Rt△D′FM中,tan∠M=tan30°
=
,∴
∴
故选A。
例2.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC
上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=1200,③AH+CH=DH,④AD2=OD·
DH中,正确的是【】.
A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④
【答案】D。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等、相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,四点共圆的判定,圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中,AB=AC,∴△ABC是等边三角形。
∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF,∴△ABF≌△CAE(SAS)。
结论①正确。
∵△ABF≌△CAE,∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800-(∠ACE+∠CAF)=1800-(∠BAF+∠CAF)=1800-∠BAC=1800-600=1200。
结论②正确。
如图,在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中,AB=AC,∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200,∴∠AHC+∠ADC=1200+600=1800。
∴A,H,C,D四点共圆。
∴∠AHD=∠ACD=600。
∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG,∠GAH=600。
∴∠CAH=600-∠CAG=∠DAG。
又∵AC=AD,∴△CAH≌△DAG(SAS)。
∴CH=DG。
∴AH+CH=HG+DG=DH。
结论③正确。
∵∠AHD=∠OAD=600,∠ADH=∠ODA,△ADH∽△ODA。
∴AD2=OD·
DH。
结论④正确。
综上所述,正确的是①②③④。
故选D。
例5.已知:
如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:
AM=DF+ME.
【答案】解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD。
∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2。
∴MC=MD。
∵ME⊥CD,∴CD=2CE。
∵CE=1,∴CD=2。
∴BC=CD=2。
(2)证明:
∵F为边BC的中点,∴BF=CF=
BC。
∴CF=CE。
∵在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中,∵CE=CF,∠ACB=∠ACD,CM=CM,
∴△CEM≌△CFM(SAS),∴ME=MF。
延长AB交DF于点G,
∵AB∥CD,∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2,∴∠1=∠G。
∴AM=MG。
在△CDF和△BGF中,
∵∠G=∠2,∠BFG=∠CFD,BF=CF,∴△CDF≌△BGF(AAS)。
∴GF=DF。
由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME。
【考点】菱形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】
(1)根据菱形的对边平行可得AB∥D,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE,然后求出CD的长度,即为菱形的边长BC的长度。
(2)先利用SAS证明△CEM和△CFM全等,根据全等三角形对应边相等可得ME=MF,延长AB交DF于点G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得AM=GM,再利用AAS证明△CDF和
△BGF全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=DF,最后结合图形GM=GF+MF即可得证。
例3.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°
,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任
意一点,则PK+QK的最小值为【】
A.1B.
C.2D.
+1
【答案】B。
【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析:
(1)若点P,Q固定,此时点K的位置:
如图,作点P关于BD的对称点P1,连接P1Q,交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得
P1K1=PK1,P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质,得P1K+QK>P1Q=P1K1+QK1=PK1+QK1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
(2)点P,Q变动,根据菱形的性质,点P关于BD的对称点P1在AB上,即不论点P在BC上任一点,点P1总在AB上。
因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。
∵∠A=120°
,∴∠DAQ1=30°
又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·
cos300=
综上所述,PK+QK的最小值为
故选B。
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