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正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
二:
集合之间的关系
1.“包含”关系—子集
(1)定义:
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。
记作:
(或B
A)
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
B或B
A
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A
②真子集:
如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
B(或B
A)。
或若集合A⊆B,存在x
B且xA,则称集合A是集合B的真子集。
③如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C
④如果A⊆B同时B⊆A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三:
集合的基本运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A
B(读作‘A交B’),即A
B={x|x
A,且x
B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
B(读作‘A并B’),即A
B={x|x
A,或x
B}).
全集:
一般,若一个集合包含我们所研究的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:
U
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作
,
CSA=
性质
A∩A=A
A∩Φ=Φ
A∩B=B∩A
A∩B
A
A∩B
B
AUA=A
AUΦ=A
AUB=BUA
AUB
A
(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)
(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)
AU(CuA)=U
A∩(CuA)=Φ.
四:
充要条件
1.当“如果p,那么q”正确时,我们就说p可推出q,记作:
p
q
读作“p推出q”。
此时我们称p是q的充分条件,又称q是p的必要条件。
2.如果p
q且q
p,那么称p是q的充要条件,记作:
q,读作“p与q等价”或“p与q互为充要条件”。
第2章方程与不等式
一元二次方程
判别式
二次函数
的图象
的根
有两个相异实数根
有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集
二次函数的解析式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
其顶点为:
;
(3)交点式:
其
,顶点横坐标
2、二次函数的图象和性质:
的图象是对称轴垂直于
轴的抛物线,当
时开口向上,当
时开口向下。
它的性质:
(1)定义域:
(2)值域:
当
时为
(3)对称性:
对称轴为
(4)单调性:
时,减区间是
,增区间是
;
当
时,减区间是
。
不等式
1.不等式的基本性质:
(1)
,
(2)
,
(3)
,故
推论:
(4)
推论1:
推论2:
推论3:
2.不等式的证明方法
原理:
(1)作差比较法:
作差比较的步骤:
①作差:
对要比较大小的两个数(或式)作差。
②变形:
对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。
③判断差的符号:
结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
3.含有绝对值的不等式
一般情况下,当m>
0时,
x²
≤m²
|x|≤m
≥m²
|x|≥m
4.一元二次不等式
形如ax²
+bx+c>
0或ax²
+bx+c<
0(a≠0)的叫作一元二次不等式。
针对ax²
0(a≠0)的解法:
1、两边同除以a,得到二次项系数为1的不等式。
2、移项,配方得到(x+s)²
>
t或
(x+s)²
<
t(t>
0)的形式。
3、等价于|x+s|>
或|x+s|<
4、解绝对值不等式,得到原不等式的解集。
第三章函数
1.函数的概念:
y=f(x),其中x是自变量,y是因变量。
自变量x的取值集合叫做函数的定义域,对应的因变量y的取值集合叫做函数的值域。
2.函数的表示方法:
解析法,列表法,图像法。
3.函数的单调性:
增函数:
函数值随自变量的增大而增大,减少而减小。
减函数:
函数值随自变量的增大而减小,减少而增大。
4.函数的奇偶性:
奇函数:
定义域关于原点对称,自变量取相反值时函数值与原函数值相反。
图象关于原点对称。
如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数
偶函数:
定义域关于原点对称,自变量取相反值时函数值与原函数值相同。
图象关于y轴对称。
如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
5.二次函数的解析式
6.二次函数的图象和性质:
(4)定义域:
(5)值域:
(6)对称性:
(4)单调性:
第四章指数函数与对数函数
1.实数指数:
其中分数指数幂
(
,且
).
2.指数函数:
函数名称
指数函数
定义
a>
1
0<
a<
图像
定义域
R
值域
过定点
图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
函数值的
变化情况
a变化对图象的影响
在第一象限内,a越大图象越高,在第二象限内,a越大图象越低。
3.对数及其运算:
(9)指数式与对数式的互化式
(10)对数的换底公式
(
且
推论
(11)对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
;
4.对数函数:
图象
性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)在
上是增函数
上是减函数
第五章数列
1.数列:
(1)按照一定顺序排列的一列数.
2.等差数列:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.
(2)由三个数
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
称为
与
的等差中项.若
,则称
为
的等差中项.
(3)通项公式:
若等差数列
的首项是
,公差是
,则
.
(4)通项公式的变形:
(5)若
是等差数列,且
、
),则
若
(6)等差数列的前
项和的公式:
3.等比数列:
如果一个数列从第
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
(2)在
中间插入一个数
,使
成等比数列,则
的等比中项.若
的等比中项.
若等比数列
,公比是
是等比数列,且
(6)等比数列
的前
第六章空间立体几何
1.柱体、锥体、球体的几何结构
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:
用各顶点字母,如五棱柱
或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;
侧面、对角面都是平行四边形;
侧棱平行且相等;
平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
用各顶点字母,如五棱锥
侧面、对角面都是三角形;
平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
用各顶点字母,如五棱台
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
①底面是全等的圆;
②母线与轴平行;
③轴与底面圆的半径垂直;
④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
①底面是一个圆;
②母线交于圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
①上下底面是两个圆;
②侧面母线交于原圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
①球的截面是圆;
②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2.柱体、锥体、台体的表面积与体积
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