因式分解法解一元二次方程典型例题Word文档格式.docx
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x(2x-3)=0,x=0或2x-3=0
∴x1=0,x2=
说明:
(1)在用因式分解法解一元二次方程时,一般地要把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.
(2)应用因式分解法解形如(x-a)(x-b)=c的方程,其左边是两个一次因式之积,但右边不是零,所以应转化为形如(x-e)(x-f)=0的形式,这时才有x1=e,x2=f,否则会产生错误,如(3)可能产生如下的错解:
原方程变形为:
2x-1=1或x-1=1.∴x1=1,x2=2.
(3)在方程
(2)中,为什么方程两边不能同除以(2t-1),请同学们思考
典型例题二
例用因式分解法解下列方程
把方程左边因式分解为:
∴
或
∴
说明:
对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
解:
移项得:
把方程左边因式分解
得:
在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
(1)
;
(2)
分析:
一元二次方程化为一般形式后,在一般情况下,左边是一个二次三项式,右边是零.二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式的积,从而可求出方程的根.但有些问题,可直接用因式分解法求解,例如
(2)符合平方差公式的结构特征.
(1)原方程可变形为
,
.
(2)原方程可化为
即
因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“化归思想”.事实上,将多元方程组化为一元方程,也是此法.
典型例题五
例用因式分解法解方程:
(3)
(4)
用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为
的形式,然后通过
,求出
有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例 用适当方法解下列方程:
(2)
(4)
(5)
(用配方法)
(1)移项,得
方程两边都除以2,得
解这个方程,得
即
(2)展开,整理,得
方程可变形为
或
∴
(3)展开,整理,得
方程可变形为
∴
(4)∵
(5)移项,得
方程各项都除以3,得
配方,得
说明:
当一元二次方程本身特征不明显时,需先将方程化为一般形式
(
),若
,a、c异号时,可用直接开平方法求解,如(l)题.若
时,可用因式分解法求解,如
(2)题.若a、b、c均不为零,有的可用因式分解法求解,如(3)题;
有的可用公式法求解,如(4)题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握,如(5)题.
而有些一元二次方程有较明显特征时,不一定都要化成一般形式,如方程
可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程
也不必展开整理成一般形式,因为方程两边都有,移项后提取公因式,得
,用因式分解法求解,得
,对于这样的方程,一定注意不能把方程两边都除以
,这会丢掉一个根
.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
典型例题七
例解关于
的方程
)
解法一:
原方程可变形为
∵
解法二:
∵
又
说明解字母系数方程时,除了要分清已知数和未知数,还要注意题目中给出的条件,要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法,也要根据题目的特点选用较简单的解法,本题的解法一显然比解法二要简单.
典型例题八
例已知
,试解关于
分析由
,容易得到
.整理关干x的方程,得
.题目中没有指明这个方程是一元二次方程,因此对二次项系数要进行讨论,当
时,方程是一元一次方程;
当
时,方程是一元二次方程。
由
,得
整理
时,原方程为
解得
∴当
时,
填空题
1.方程
的根是
2.方程
的解是
3.方程
答案:
1.
2.
3.
解答题
1.用因式分解法解下列方程:
(2)
(4)
。
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2.用因式分解法解下列方程:
3.用因式分解法解下列关于
的一元二次方程:
4.用适当的方法解下列方程:
5.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程
的根,求这个三角形的周长.
1.
(1)
(3)
2.
(1)
3.
(1)
4.
(1)
5.提示:
三角形两边之和大于第三边,三角形周长为
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