高中数学直线与圆锥曲线位置关系专题比值问题练习试题Word文档下载推荐.docx
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,又
,所以
,
所以所求的椭圆
方程为
…………………………4分
(II)设切点坐标为
直线
上一点M的坐标
则切线方程分别为
又两切线均过点M,即
,即
点A,B的坐标都适合方程
,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线AB的方程是
,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,故直线AB恒过定点
…………………………………………………………………………9分
(III)将直线AB的方程
,代入椭圆方程,得
所以
不妨设
,同理
………12分
即
故存在实数
,使
得
……………………………15分
例2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|
|=
·
(
)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l.问:
是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?
若存在,求t的值.若不存在,说明理由.
练习:
1.设椭圆
的左、右顶点分别为
、
,点
在椭圆上且异于
两点,
为坐标原点.
(1)若直线
与
的斜率之积为
,求椭圆的离心率;
(2)对于由
(1)得到的椭圆
,过点
的直线
交
轴于点
,交
,若
,求直线
的斜率.
(2)由题意知直线
的斜率存在.…………7分
设直线
的斜率为
直线
的方程为
…………8分
则有
设
,由于
三点共线,且
根据题意,得
…………9分
解得
或
…………11分
又点
在椭圆上,又由
(1)知椭圆
[来源:
学,科,网Z,X,X,K]
…………
由
此时点
与椭圆左端点
重合,
舍去;
…………12分
…………13分
直线直线
的斜率
.…………14分
2.(21)(本小题满分12分)
如图,已知椭圆
的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线
的斜率分别为
,证明
;
(Ⅲ)是否存在常数
,使得
恒成立?
若存在,求
的值;
若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为
,得
,所以可解得
,所以椭圆的标准方程为
所以椭圆的焦点坐标为(
,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为
3.(2011年高考湖南卷理科21)(本小题满分13分)如图7,椭圆
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长.
求
的方程;
轴的交点为
,过坐标原点
相交于点
,直线
分别与
(ⅰ)证明:
;
(ⅱ)记
的面积分别为
,问:
是否存在直线
?
请说明理由.
解:
由题意知
,从而
,解得
的方程分别为
(ⅰ)由题意知,直线
的斜率存在,设为
,则直线
,则
是上述方程的两个实根,于是
故
因此
由题意知,
又由点
的坐标可知,
故满足条件的直线
存在,且有两条,其方程分别为
4.(2010北京理数)(19)(本小题共14分
在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,说明理由。
(I)解:
因为点B与A
关于原点
对称,所以点
得坐标为
设点
的坐标为
由题意得
化简得
故动点
的轨迹方程为
(II)解法一:
设点
得坐标分别为
则直线
令
于是
得面积
又直线
点
到直线
的距离
的面积
当
时,得
又
=
因为
故存在点
使得
的面积相等,此时点
解法二:
若存在点
的面积相等,设点
则
因为
所以
即
故存在点
S使得
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- 高中数学 直线 圆锥曲线 位置 关系 专题 比值 问题 练习 试题