版高考数学理高分计划一轮狂刷练第2章 函数导数及其应用 28a Word版含答案解析Word文件下载.docx
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f
(1)<
0,则a>
1.
若Δ=0,即a=-
,函数的零点是x=-2,不合题意,故选C.
4.(2017·
浙江嘉兴测试)已知函数f(x)=
x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
解析 函数f(x)=
x-cosx的零点个数为
x-cosx=0⇒
x=cosx的根的个数,即函数h(x)=
x与g(x)=cosx的图象的交点个
数.如图所示,在区间[0,2π]上交点个数为3,故选C.
5.(2017·
河南新乡三模)若函数f(x)=log2(x+a)与g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)存在相同的零点,则a的值为( )
A.4或-
B.4或-2
C.5或-2D.6或-
解析 g(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)[x-(a+5)],令g(x)=0,得x=-4或x=a+5,则f(-4)=log2(-4+a)=0或f(a+5)=log2(2a+5)=0,解得a=5或a=-2.故选C.
6.(2017·
河南十所名校联考)设函数f(x)=
x-lnx,则函数y=f(x)( )
A.在区间
,(1,e)内均有零点
B.在区间
,(1,e)内均无零点
C.在区间
内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间
内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案 D
解析 令f(x)=0得
x=lnx.作出函数y=
x和y=lnx的图象,如图,显然y=f(x)在
内无零点,在(1,e)内有零点,故选D.
7.(2017·
东城区期末)已知x0是函数f(x)=2x+
的一个零
点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<
0,f(x2)<
0B.f(x1)<
0,f(x2)>
C.f(x1)>
0D.f(x1)>
解析 设g(x)=
,由于函数g(x)=
=-
在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x1)<
0,在(x0,+∞)上f(x2)>
0,故选B.
8.(2017·
江西赣州一模)函数f(x),g(x)满足:
对任意x∈R,都有f(x2-2x+3)=g(x),若关于x的方程g(x)+sin
x=0只有5个根,则这5个根之和为( )
A.5B.6C.8D.9
答案 A
解析 由f(x2-2x+3)=g(x)及y=x2-2x+3的图象关于直线x=1对称知g(x)的图象关于直线x=1对称,由g(x)+sin
x=0,知g(x)=-sin
x,因为y=-sin
x的图象也关于直线x=1对称,g(x)+sin
x=0有5个根,故必有一个根为1,另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.
9.(2017·
山东济宁模拟)定义在
上的函数f(x)满足f(x)=
f
,且当x∈
时,f(x)=lnx,若函数g(x)=f(x)-ax在
上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.
B.[-πlnπ,0]
C.
D.
解析 令x∈[1,π],则
∈
,因为f(x)=f
时,f(x)=lnx,所以f(x)=f
=-lnx,则f(x)=
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图:
因为函数g(x)=f(x)-ax在
上有零点,所以直线y=ax与函数f(x)的图象有交点.由图得,当a取满足题意的最小值时,直线y=ax与f(x)的图象相交于点
,此时-lnπ=
⇒a=-πlnπ,由图可得,实数a的取值范围是[-πlnπ,0],故选B.
10.(2016·
天津高考)已知函数
f(x)=
(a>
0,且a≠1)在R上单调递
减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
B.
∪
D.
解析 要使函数f(x)在R上单调递减,
只需
解之得
≤a≤
,
因为方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,所以直线y=2-x与函数y=|f(x)|的图象有两个交点,如图所示.
易知y=|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为
-1,又
≤
-1≤2,故由图可知,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在x>
0时有一个交点;
当直线y=2-x与y=x2+(4a-3)x+3a(x<
0)的图象相切时,设切点为(x0,y0),则
整理可得4a2-7a+3=0,解得a=1(舍)或a=
.而当3a≤2,即a≤
时,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点,综合可得a∈
.故选C.
二、填空题
11.(2017·
河北模拟)若函数f(x)=ln(x-1)-
的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k的值为________.
答案 3
解析 易知函数f(x)=ln(x-1)-
在其定义域上连续,f(3)=ln2-1<
0,f(4)=ln3-
>
0,故f(3)·
f(4)<
0,故函数的零点在区间(3,4)上,故k=3,故答案为3.
12.函数f(x)=
的零点个数是________.
答案 2
解析 当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-
(正根舍),所以在(-∞,0]上有一个零点.当x>
0时,f′(x)=2+
0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f
(2)=-2+ln2<
0,f(3)=ln3>
0,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.
13.已知a是实数,函数f(x)=2a|x|+2x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由题意易知a≠0,令f(x)=0,即2a|x|+2x-a=0,变形得|x|-
x,
分别作出函数y1=|x|-
,y2=-
x的图象,如图所示.
由图易知,当0<
-
<
1或-1<
0,即a<
-1或a>
1时,y1和y2的图象有两个不同的交点,所以当a<
1时,函数y=f(x)有且仅有两个零点,即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
14.已知函数y=f(x)(x∈R).对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:
对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=
关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>
g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.
答案 (2
,+∞)
解析 函数g(x)的定义域是[-2,2],根据已知得
=f(x),所以h(x)=2f(x)-g(x)=6x+2b-
.h(x)>
g(x)恒成立,即6x+2b-
恒成立,即3x+b>
恒成立,令y=3x+b,y=
,则只要直线y=3x+b在半圆x2+y2=4(y≥0)上方即可,由
2,解得b>
2
(舍去负值),故实数b的取值范围是(2
,+∞).
三、解答题
15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)判断命题:
“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及
内各有一个零点,求实数a的取值范围.
解
(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.
(2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及
内各有一个零点,
即
解得
a<
.
故实数a的取值范围为{a
16.(2017·
江西模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+
(x>
0).
(1)若g(x)=m有实数根,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解
(1)∵x>
0时,g(x)=x+
≥2
=2e,
等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.
∴m的取值范围是[2e,+∞).
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+
0)的大致图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
∴其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>
2e,即m>
-e2+2e+1时,g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
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