金融时间序列分析第三次作业文档格式.docx
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f(am+1,……,at)=
所以对数条件似然函数为
L=T{ln(
)-ln(
)-
ln[(v-2)n]}-
ln(σt2)+(1+v)ln(1+
)]
带入实际的数据
T=t,at=rt-u-φ1rt-1,同时又有σt2=α0+α1at-12+β1σt-12,所以有了第一个σ1后就可以递推出其余的σt。
3.5
对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型,并进行向前1到5步的波动率预测。
数据的图形如下:
同时ACF和PACF如下:
可知模型的基本形式应该为MA
(1)。
尝试对残差建立ARMA(0,1)~Garch(1,1)模型,结果为
*-----------------------------------------------------*
*GARCHModelFit*
ConditionalVarianceDynamics
-----------------------------------
GARCHModel:
sGARCH(1,1)
MeanModel:
ARFIMA(1,0,0)
Distribution:
norm
OptimalParameters
------------------------------------
EstimateStd.ErrortvaluePr(>
|t|)
mu0.0258070.0064414.006450.000062
ar10.0270090.0547260.493530.621640
omega0.0012350.0006152.008190.044624
alpha10.0891860.0333092.677530.007417
beta10.8366460.05554615.062320.000000
LogLikelihood:
238.1461
检验残差的ACF
发现模型可以满足要求。
所以最终拟合的Garch模型为
(1-0.027009*B)yt=0.025807+εt
εt=ut*htht~N(0,σn2)
ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646*σt-12
下面是向前1到5步的预测结果
*---------------------------------------------------------*
*GARCHModelForecast*
Model:
sGARCH
Horizon:
10
RollSteps:
0
OutofSample:
0-rollforecast:
sigmaseries
3730.12330.02426
3740.12360.02603
3750.12400.02607
3760.12430.02608
3770.12460.02608
其中372就是03年12月的数据
下图是预测结果趋势图
3.6
(a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。
观察对数收益率的ACF图形
可以发现明显的一阶相关性。
取12阶滞后的Ljung&
Box检验的结果如下
Box-Ljungtest
data:
mrk
X-squared=24.3218,df=12,p-value=0.01838
发现有显著的自相关性。
尝试对序列建立ARMA(1,0)模型
arima(x=mrk,order=c(1,0,0))
Coefficients:
ar1intercept
-0.09110.0121
s.e.0.03800.0024
sigma^2estimatedas0.004746:
loglikelihood=868.06,aic=-1730.13
残差mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt没有序列相关。
(b)利用Ljung&
Box统计量,在6以及12个间隔下验证序列的ARCH效应。
令arch=mrk$residuals^2,进行Ljung&
Box检验
间隔为6:
arch
X-squared=25.0263,df=6,p-value=0.0003376
间隔为12:
X-squared=35.2562,df=12,p-value=0.0004263
在5%的显著性水平下无论是6还是12的间隔都是有显著的ARCH效应。
(c)对数据识别一个ARCH模型,然后拟合
*------------------------------------------------------*
sGARCH(1,0)
mu0.0122690.0024115.08940.000000
ar1-0.0802210.040635-1.97420.048358
omega0.0044330.00029814.89770.000000
alpha10.0663490.0430291.54200.123084
模型形式为:
(1+0.080221*B)mrkt=0.012269+εt
ut2=0.004433+0.066349*at-12
下面是拟合的残差图以及置信区间,发现拟合是有效的。
3.7
(a)利用Ljung&
Box统计量,在6以及12个间隔下验证对数收益率的ARCH效应。
为了检验3m数据的ARCH效应,将Ljung&
Box应用于mmm^2序列
6个间隔:
mmm^2
X-squared=22.5644,df=6,p-value=0.0009563
12个间隔
X-squared=29.9574,df=12,p-value=0.002834
无论是6或者12个间隔,都是在5%的水平下有显著的ARCH效应的。
(b)用收益率平方的PACF识别一个ARCH模型并拟合。
PACF图形为
序列平方项有2阶的偏自相关,所拟合的应该是一个ARCH
(2)模型。
*---------------------------------------------------*
sGARCH(2,0)
ARFIMA(0,0,0)
mu0.0120840.0022945.26710.000000
omega0.0031950.00027311.69920.000000
alpha10.0949520.0486391.95220.050916
alpha20.1342610.0567032.36780.017894
模型为:
yt=0.012084+εt
ut2=0.003195+0.094952*at-12+0.134261*at-22
(c)利用前690个数据重新拟合,并对691到695的数据进行预测
mu0.0118360.0022975.15270.000000
omega0.0031690.00027411.55320.000000
alpha10.0984260.0492481.99860.045653
alpha20.1378020.0576282.39120.016792
yt=0.011836+εt
ut2=0.003169+0.098426*at-12+0.137802*at-22
预测结果为
*--------------------------------------------------------*
sigm
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