高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx
- 文档编号:13353614
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:240.34KB
高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx
《高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
Δ>
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<
梳理
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法:
将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>
0,则直线和椭圆相交;
若Δ=0,则直线和椭圆相切;
若Δ<
0,则直线和椭圆相离.
(2)根与系数的关系及弦长公式:
设直线l:
y=kx+m(k≠0,m为常数)与椭圆
0)相交,两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦,线段AB的长度叫做弦长.AB=
·
,其中x1+x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.
1.直线与椭圆有且只有一个公共点时,直线与椭圆相切.(√)
2.直线
-y=1被椭圆
+y2=1截得的弦长为
.(√)
3.已知椭圆
=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.(×
)
4.直线y=k(x-a)与椭圆
=1的位置关系是相交.(√)
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P(k,1),椭圆
=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为____________.
答案
∪
解析 依题意得,
1,
解得k<
-
或k>
.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
1,解得k2>
,
即k<
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.
跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆
=1(n>
m>
0)上,则m+n的最小值为________.
答案 9
=1,
而m+n=(m+n)
=1+
+4
=5+
≥5+2
=9,
(当且仅当n=2m时等号成立)
故m+n的最小值为9.
例2 对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆
+y2=1的位置关系.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 由
消去y,
得5x2+8mx+4m2-4=0,
Δ=64m2-4×
5×
(4m2-4)=16×
(5-m2).
当-
<m<
时,Δ>0,直线与椭圆相交;
当m=-
或m=
时,Δ=0,直线与椭圆相切;
当m<-
或m>
时,Δ<0,直线与椭圆相离.
反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时,准确计算出判别式Δ是解题关键.
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,
)且斜率为k的直线l与椭圆
+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.
解 由已知条件知直线l的方程为y=kx+
代入椭圆方程得
+(kx+
)2=1,
整理得
x2+2
kx+1=0,
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4
=4k2-2>0,解得k<-
或k>
所以k的取值范围为
类型二 弦长及中点问题
例3 已知椭圆
=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).
将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,
于是x1+x2=
又M为线段AB的中点,
∴
=
=2,解得k=-
经检验,当k=-
时,(*)式的判别式Δ>0.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
方法二 点差法
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,则x
+4y
=16,x
=16,
两式相减,得(x
-x
)+4(y
-y
)=0,
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·
(y1-y2)=0.
=-
即直线AB的斜率kAB=-
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),
由于点M(2,1)为线段AB的中点,
则另一个交点为B(4-x,2-y).
∵A,B两点都在椭圆上,∴
①-②,得x+2y-4=0.
即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
在本例中求弦AB的长.
解 由上例得直线AB方程为x+2y-4=0.
联立方程组
消去y并整理,得
x(x-4)=0,得x=0或x=4,
得两交点坐标A(0,2),B(4,0),
故AB=
=2
反思与感悟 直线与椭圆的交点问题,一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题,即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题,一般应用弦长公式.而用弦长公式时,若能结合根与系数的关系“设而不求”,可大大简化运算过程.
跟踪训练3 已知椭圆
=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为
时,求线段AB的长度;
(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
解
(1)由已知可得直线l的方程为y-2=
(x-4),
即y=
x.由
消去y可得x2-18=0,
若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=0,x1x2=-18.
于是AB=
×
6
=3
所以线段AB的长度为3
(2)设A(x3,y3),B(x4,y4),
则有
两式相减得
=0,
整理得kAB=
由于P(4,2)是AB的中点,
∴x3+x4=8,y3+y4=4,
于是kAB=-
于是直线l的方程为y-2=-
即x+2y-8=0.
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解
(1)由
得5x2+2mx+m2-1=0,
因为直线与椭圆有公共点,
所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-
≤m≤
(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由
(1)知:
5x2+2mx+m2-1=0,
所以x1+x2=-
,x1x2=
(m2-1),
所以AB=
所以当m=0时,AB最大,此时直线方程为y=x.
反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如PA+PB的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时PA+PB取得最值,即应用“化曲为直”的思想.
(2)求解形如PA的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
跟踪训练4 已知动点P(x,y)在椭圆
=1上,若点A的坐标为(3,0),|
|=1,且
=0,求|
|的最小值.
解 由|
|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,
∵
=0且P在椭圆上运动,
∴PM⊥AM,即PM为⊙A的切线,连结PA(如图),
则|
|=
∵由椭圆方程知a=5,c=3,
∴当|
|min=a-c=5-3=2时,|
|min=
1.点A(a,1)在椭圆
=1的内部,则a的取值范围是________.
答案 (-
解析 由题意知
1,解得-
a<
2.已知直线l:
x+y-3=0,椭圆
+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是________.
答案 相离
解析 把x+y-3=0代入
+y2=1,
得
+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.
∵Δ=(-24)2-4×
32=-64<
0,∴直线与椭圆相离.
3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+
y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为________.
答案 2
解析 由题意可设椭圆的方程为
2),与直线方程x+
y+4=0联立,得4(a2-3)y2+8
(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0,由Δ=0,得a=
,所以椭圆的长轴长为2
4.若直线y=kx+b与椭圆
=1恒有两个公共点,则b的取值范围为________.
答案 (-2,2)
解析 ∵直线y=kx+b恒过定点(0,b),且直线y=kx+b与椭圆
=1恒有两个公共点,∴点(0,b)在椭圆
=1内部,∴-2<
b<
2.
5.直线l:
y=kx+1与椭圆
+y2=1交于M,N两点,且MN=
,求直线l的方程.
解 设直线l与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),
由
消去y并化简,
得(1+2k2)x2+4kx=0,
,x1x2=0.
由MN=
,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=
所以(1+k2)(x1-x2)2=
所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
即(1+k2)
2=
化简得k4+k2-2=0,
所以k2=1,所以k=±
所以所求直线l的方程是y=x+1或y=-x+1.
1.直线与椭圆相交弦长的有关问题:
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有AB=
或AB=
(k为直线斜率).
(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
2.解决椭圆中点弦问题的三种方法:
(1)根与系数的关系法:
联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:
利用点在曲线上,坐标满足方程,将点的坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.
(3)共线法:
利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其一交点为A(x,y),
则另一交点为B(2x0-x,2y0-y),
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 圆锥曲线 方程 222 椭圆 几何 性质 二学案苏教版 选修 21
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)