东南大学信号与系统试题及答案.docx
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东南大学信号与系统试题及答案
东南大学考试卷(AB卷)
一、简单计算题(每题8分):
Fj)=—2^^
1、已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为2一'jS.,按照取
样间隔T=1对其进行取样得到离散时间序列f(k),序列f(k)的Z变换。
D|P
f(k)
2、已知某连续系统的特征多项式为:
D(s)=s73s66s510s411s39s26s2
试判断该系统的稳定情况,并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个?
32
3、已知某连续时间系统的系统函数为:
円林汽甘。
试给
出该系统的状态方程。
4、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数
二、(12分)已知系统框图如图(a),输入信号e(t)的时域波形如图(b),子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示,信号f⑴的频谱为
F(j‘)二ejn「
n
o
图(b)图(c)
图(a)
试:
1)分别画出f(t)的频谱图和时域波形;
2)求输出响应y(t)并画出时域波形。
3)子系统h(t)是否是物理可实现的?
为什么?
请叙述理由;
三(12分)、已知电路如下图所示,激励信号为e(t)=欽t),在t=0和t=1
05
L=2H
时测得系统的输出为y(°)",y
(1)=e.。
分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
四(12分)、已知某离散系统的差分方程为
2y(k2)-3y(k1)y(k)二e(k1)
其初始状态为yzi(T)八2,yzi(-2)=-6,激励e(k)=;(k);
求:
1)零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k);
2)指出其中的自由响应分量和受迫响应分量;
3)判断该系统的稳定性。
h(k)=cos."丛]g(k)
五(12分)、已知某离散时间系统的单位函数响应I2丿
1)求其系统函数H(z);
2)粗略绘出该系统的幅频特性;
3)画出该系统的框图。
六、(10分)请叙述并证明z变换的卷积定理
答案
1、已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为
T=1对其进行取样得到离散时间序列
1
1
F(j)-
2"金,按照取样间隔f(k),序列f(k)的z变换。
111
解法一:
f(t)的拉普拉斯变换为
F()yR:
F(S)Z_F(z)=Z:
Resst
i^-e
解法二:
f(t)=LJ{F(jw)}=(e
S二
i
-t
F(S)_2s23s(s1)(s2)
KiZ
n
—sT4-2
ihZ-e'z-ez~e
-e^t)(t)
1k2k
f(k)=(e--e~k
F(z)=Z[f(k)]=
)(k)=((e-)-心-));(k)
zz
T
fS—X2仆f2(k)=1+cos』k〕L(k)
仙一込2,1和「一23的卷积和。
z-ez-e
2、求序列
解:
fi(k)={1,2,1}=、(k)+2、(k—1)+、(k—2)
fi(k)*f2(k)=f2(k)+2f2(k-1)+f2(k_2)
10z29z2,求该序列的时域表达式f(k)。
F(z)
3、已知某双边序列的Z变换为
11
F(z):
解:
z0.4z-0.5,两个单阶极点为_0.4、_0.5
当收敛域为|z|>0.5时,f(k)=((q4)k」_(_0.5)kJ)(k-1)当收敛域为0.4<|z|<0.5时,f(k)=(—0.4)k」;(k_1)+(-0.5)2(k)当收敛域为|z|<0.4时,f(k)=-(-0.4)kJ(_k)+(-0.5)k」(k)
点评:
此题应对收敛域分别讨论,很多学生只写出第一步答案,即只考虑单边序列。
4、已知某连续系统的特征多项式为:
765432
D(s)=s+3s+6s+10s+11s+9s+6s+2
试判断该系统的稳定情况,并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个?
解构作罗斯-霍维茨阵列
s
1
6
11
6
6s
3
10
9
2
5
8
8
16
0
s
3
3
4s
1
3
2
3s
(0
0)
此时岀现全零行,有辅助多项式s43s22
4
6
求导可得4s36s,以4,6代替全零行系数。
2
3
2
s
—
2
1
2
s
—
3
0s
2
由罗斯-霍维茨数列可见,元素符号并不改变,说明s右半平面无极点。
再由
s4+3s2+2=0
2
令s=x则有
X23x2=0
可解得相应地有
x--1,-2
2=-1=_j
更,4二一2=j、2
这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j.2,系统为临界稳定。
所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根,无正实部的根。
点评:
此题得分率很低。
很多学生对全零行不知如何处理。
32
、s+6s+4s+2
H(s)=—32
5、已知某连续时间系统的系统函数为:
s2ss1。
试给出该系统
的状态方程。
解:
系统的微分方程为
y(t)2y(t)y(t)y(t^e(t)6e(t)4e(t)2e(t)
取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为q=xi、q^x2、q”=x3、
q'''=x3‘,于是,由此微分方程立即可以写出如下方程
Xi—X2
X2'=X3
状态方程:
X3'「Xi-X2-2X3yt)
输出方程:
y=X32Xi4X26X3=Xi3X24X3e(t)
或者写成矩阵形式,上式即为
、(12分)已知系统框图如图(a),输入信号e(t)的时域波形如图(b),
2)y(t)=[e(t)f(t)]h(t)=[、.(t+2)+2、.(t)+、(t—2)]h(t)=h(t+2)+2h(t)+h(t2)
三(12分)、已知电路如下图所示,激励信号为弾)=环),在t=0和t=1时
05
测得系统的输出为y(°)T,y
(1)=e.。
分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
L=2H
解:
1)电路满足KVL:
得
y(t)■1.5y(t)0.5y(t^0.5e(t)
0.5s111
-2~
Yzs(s)=H(s)E(s)=s1.5s0.5s=s0.5s1
零状态响应:
yzs(t)=(e耳⑸-e4) yzs(0)=0,yzs (1)=(ef); yzi(0)=y(0)-yzs(0)=1,yzi (1)=y (1)-yzs (1)=—e‘; yzi(t)=(C1e^.5t+C2ej(t),得C1=0,C2=1 零输入响应: yzi(t)=e*(t); 全响应: y(t)=e°5t々) 失去少部分 点评: 此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答,分数。 四(12分)、已知某离散系统的差分方程为 2y(k2)-3y(k1)y(k)=e(k1) 其初始状态为yzi(-“,yzi(-2)=-6,激励e(k)二;(k); 求: 1) 2) 3) 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k);指出其中的自由响应分量和受迫响应分量;判断该系统的稳定性。 代入初始条件得0=_2,C2=2 零输入响应: yzi(k)=(2-20.5k);(k) z 2z2-3z1z-1 Yzs(z)=H(z)E(z)=零状态响应: yzs(k)=(0.5k+k-1);(k) 0.5丄 yzs(0)=0,yzs (1)=(ey); 全响应: y(k)=(1+k-0.5k);(k) k 2)自由响应: (1-0.5) k(k),严格地说是混合响应。 3)系统的特征根为.1=0.5(单位圆内) 、2=1(单位圆上),所2系统临界稳定。 fnk\h(k)=cos]——;五(12分)、已知某离散时间系统的单位函数响应.2 ;(k) 。 4) 5) 6)解: 求其系统函数H(z); 粗略绘出该系统的幅频特性; 画出该系统的框图。 1)系统函数为: Z{cos(3k)g(k)j=ZT 尹*e^(k) 2(k) -jk 2;(k) j-: -e2 z2 H(z)- z+1 六、(10分)请叙述并证明Z变换的卷积定理。 解: 卷积定理 设z{fi(k)}=Fi(z),z{f2(k)}=F2(z),则zfi(k)*f2(k)』Fi(z)F2(z) 或用符号表示为: 若figFi(z),f2(k),F2(Z),则 fi(k)*f2(k),Fi(z)F2(z) 两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。 以上定理可根据卷积和 及Z变换的定义证明如下 ■bo1-bo-bo z{f'k)*f2(k)}=Z」I;fi(j)f2(k—j)卜=送z七fi(j)f2(k—j) j丿k^^ij=jaO 交换上式右方的取和次序,上式成为 ■bo-bo Zfi(k)*f2(k)匚'fi(jpz“f2(k—j) j二;k: 对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性,则得 -bo Zfi(k)*f2(k)? ='fi(j)z—jF2(z)二Fi(z)F2(z) j=-°0 点评: 很多学生做不出此题,有的竟然连卷积定理内容都写不出
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