北师大版数学九年级下册第一章第六节利用三角函数测高课时练习Word文档格式.docx
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方向,距离灯塔60海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°
方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A.30
海里B.30
海里C.60海里D.30
A
解答:
过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△PAC中,∵PA=60海里,∠PAC=30°
,
∴CP=
AP=30海里.
在Rt△PBC中,∵PC=30海里,∠PBC=∠BPC=45°
∴PB=
PC=30
即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30
故选:
A.
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题,解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线
3.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km、从A测得船C在北偏东45°
的方向,从B测得船C在北偏东22.5°
的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A.4kmB.(2+
)kmC.2
kmD.(4-
)km
B
在CD上取一点E,使BD=DE,
可得:
∠EBD=45°
,AD=DC,
∵从B测得船C在北偏东22.5°
的方向,
∴∠BCE=∠CBE=22.5°
∴BE=EC,
∵AB=2,
∴EC=BE=2,
∴BD=ED=
∴DC=2+
B.
根据题意在CD上取一点E,使BD=DE,进而得出EC=BE=2,再利用勾股定理得出DE的长,即可得出答案
4.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°
方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°
A.40
海里B.40
海里C.80海里D.40
答案:
过点P作PC⊥AB于点C,
由题意可得出:
∠A=30°
,∠B=45°
,AP=80海里,
故CP=
AP=40(海里),
则PB=
=40
(海里).
过点P作垂直于AB的辅助线PC,利三角函数解三角形,即可得出答案
5.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°
方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°
的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A.4kmB.2
kmC.2
kmD.(
+1)km
如图,过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°
,∠AOD=30°
,OA=4,
∴AD=
OA=2.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°
,∠B=∠CAB-∠AOB=75°
-30°
=45°
∴BD=AD=2,
∴AB=
AD=2
即该船航行的距离(即AB的长)为2
km.
C.
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
6.如图,杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A,B,景区管委会又开发了风景优美的景点C,经测量景点C位于景点A的北偏东60°
方向,又位于景点B的北偏东30°
方向,且景点A、B相距200m,则景点B、C相距的路程为( )
A.100
B.200C.100D.200
如图,由题意得∠CAB=30°
,∠ABC=90°
+30°
=120°
∴∠C=180°
-∠CAB-∠ABC=30°
∴∠CAB=∠C=30°
∴BC=AB=200m,
即景点B、C相距的路程为200m.
故选B.
先根据方向角的定义得出∠CAB=30°
,∠ABC=120°
,由三角形内角和定理求出∠C=180°
,则∠CAB=∠C=30°
,根据等角对等边求出BC=AB=200m
7.如图,C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄,CD=6km,且D位于C的北偏东30°
方向上,则AB的长为( )
A.2
kmB.3
kmC.
kmD.3km
过C作CE⊥BD于E,则CE=AB.
直角△CED中,∠ECD=30°
,CD=6,
则CE=CD•cos30°
=3
=AB.
所以AB=3
(km).
过C作CE⊥BD于E,根据题意及三角函数可求得CE的长,从而得到AB的长
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40
海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°
方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为( )海里.
A.40+40
B.80
C.40+20
D.80
根据题意得:
PA=40
海里,∠A=45°
,∠B=30°
∵在Rt△PAC中,AC=PC=PA•cos45°
=40
×
=40(海里),
在Rt△PBC中,BC=
(海里),
∴AB=C+BC=40+40
故选A.
首先由题意可得:
,然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中,利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长,继而求得答案
9.小军从A地沿北偏西60°
方向走10m到B地,再从B地向正南方向走20m到C地,此时小军离A地( )
A.5
mB.10mC.15mD.10
m
D
如图所示:
在Rt△ABD和Rt△CDA中,
∵AD=AB•sin60°
=5
(m);
BD=AB•cos60°
=5,
∴CD=15.
∴AC=
=10
(m).
D.
根据三角函数分别求AD,BD的长,从而得到CD的长.再利用勾股定理求AC的长即可
10.某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于P的北偏东30°
方向,且相距50海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°
方向航行
小时到达B处,那么tan∠BAP=( )
B.
C.
D.
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°
方向,且相距50海里.
∴AP=50,
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°
小时到达B处,
∴∠APB=90°
,BP=60×
=40,
∴tan∠BAP=
根据题意作出图形后知道北偏东30°
与北偏西60°
成直角,利用正切的定义求值即可
11.在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到距离A点10千米的C地去,先沿北偏东70°
方向走了8千米到达B地,然后再从B地走了6千米到达目的地C,此时小霞在B地的( )
A.北偏东20°
方向上B.北偏西20°
方向上
C.北偏西30°
方向上D.北偏西40°
方向上
如图,
∵AC=10千米,AB=8千米,BC=6千米,
∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC为直角三角形,即∠ABC=90°
又∵B点在A的北偏东70°
方向,
∴∠1=90°
-70°
=20°
∴∠2=∠1=20°
即C点在B的北偏西20°
的方向上.
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题:
在每点处画上东南西北,然后利用平行线的性质和解直角三角形求角.也考查了勾股定理的逆定理
12.海中有一个小岛A,它的周围a海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东75°
方向上,航行12海里到达D点,这是测得小岛A在北偏东60°
方向上.若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险,则a的最大值为( )
A.5B.6C.6
D.8
作AC⊥BD于点C.
∠ABD=90°
-75°
=15°
∵∠ADC=90°
-60°
=30°
∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°
-15°
∴∠ABD=∠BAD,
∴BD=AD=12(海里),
在直角△ADC中,AC=
AD=
×
12=6(海里).
故a的最大值是6海里.
渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险,则C到航线的距离就是a的最大值,作AC⊥BD,根据方向角的定义即可求得AD的长度,然后在直角△ACD中,求得AC的长
13.如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°
方向上,在A处东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°
方向上,则灯塔P到环海路的距离PC=( )米.
A.250B.500C.250
D.500
∵∠PAB=90°
,∠PBC=90°
=60°
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB,
∴∠PAB=∠APB=30°
∴PB=AB.
在直角△PBC中,PC=PB•sin60°
=500×
=250
容易判断△ABP是等腰三角形,AB=BP;
在直角△BCP中,利用三角函数即可求得PC的长
14.温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击.一次,温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处(如图),以每小时10
千米的速度向东偏南30°
的BC方向移动,并检测到台风中心在移动过程中,温州市A将受到影响,且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域.则影响温州市A的时间会持续多长?
( )
A.5B.6C.8D.10
D
过点A作AD⊥BC于D,由题意得AB=300,∠ABD=30°
则AD=
AB=150(km),
设台风中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点则,
在Rt△ADE中,AE=200,AD=150,
则DE=
=50
从而可得:
EF=2DE=100
故A镇受台风严重影响的时间为
=10(h).
故选D.
首先过A作作AD⊥BC于D,求得AD的长;
设台风中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点则,在直角三角形中,求得ED,DF的长,已知速度,则可以求得受影响的时间
15.如图,甲、乙两船同时从港口O出发,其中甲船沿北偏西30°
方向航行,乙船沿南偏西70°
方向航行,已知两船的航行速度相同,如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处,那么点B位于点A的( )
A.南偏西40°
B.南偏西30°
C.南偏西20°
D.南偏西10°
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- 北师大 数学 九年级 下册 第一章 第六 利用 三角函数 测高 课时 练习