电动力学郭芳侠电磁波的辐射 1Word下载.docx
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=40
t
,则它激发的矢势的一般表示式为
=——————。
9.变化电磁场的场量
和
与势(
、
)的关系是
=—————,
=—————。
10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射;
若体系电偶极矩振幅
不变,当辐射频率有由
时变为3
,则偶极辐射总功率由原来的p变为—————。
加速,81P0
11.势的规范变换为
————,
————;
,
12.洛仑兹规范辅助条件是————;
在此规范下,真空中迅变电磁场的势
满足的微分方程是——————.
,
13.真空中一点电荷电量
,它在空间激发的电磁标势为______________.
14.一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为
绕圆环的轴线以角速度
匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为.
零
15.真空中某处有点电荷
那么决定离场源r处t时刻的电磁场的电荷电量等于.
16.已知自由空间中电磁场矢势为
,波矢为
,则电磁场的标势
17.真空中电荷
距场点
则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在
秒时刻激发的.
0.17s
18.电偶极子在 方向辐射的能流最强.
过偶极子中心垂直于偶极距的平面
19.稳恒的电流 (填写“会”或“不会”)产生电磁辐射.
不会
20.已知体系的电流密度
则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 .
21.短天线的辐射能力是由 来表征的,它正比于
辐射电阻,
22.真空中,电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了
的高次项)之间的关系是 .
23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 .
辐射压力
24.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出
的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场.
解:
将方程组中的电场、磁场、电流、分为无旋和无散两部分.据此,可将麦克斯韦方程组写成另外一种表达形式,进一步证明电场的无旋部分对应于库仑场.
(1)以角标L和T分别代表纵场和横场两部分,则有
将
的分解式分别代入真空中的麦克斯韦方程组中,得
①
①式可近一步化简为
②
由纵场和横场定义,得
③
并且
④
将③④两式代入②式,得
(2)以角标L和T代表纵场和横场,则电场分解为
,并且
,再由
(
为标势),得
⑤
由
,有
⑥
由⑤⑥式可知
的纵场部分完全由
描述,
即为库仑规范,
的纵场对应于库仑场.
25.若
是满足洛伦兹规范的电磁势,证明当
满足
,那么新的矢势和标势
仍然满足洛伦兹规范。
证明:
电磁势
满足洛伦兹规范
(1)
作规范变换
则
(2)
将
(1)代入
(2),可看出只要
则
满足洛伦兹规范条件:
26.证明在线性各向同性均匀非导电介质中,若ρ=0,
=0,则
可
完全由矢势
决定.若取
=0,这时
满足哪两个方程?
证明
(1)若
,对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为
①
②
代入场方程①~④中,并选择洛伦兹规范
⑤
得
⑥
对单色波
⑦
代入⑤式中,得
⑧
于是
⑨
可见在线性均匀非导电介质中,当
时,
决定.
(2)若取
,由⑤⑥两式变为
⑩
上式便是此时
满足得方程.
27.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势
表示,其中
垂直于z轴方向.
解题思路 由于
,再考虑沿z方向传播的电磁波矢势
解析表达式,找出于
与
的关系便可证明.
利用上题中得到的自由空间矢势的方程
解得平面波解为
由于平面波沿z轴方向传播,故
,则②式可写为
根据洛伦兹规范
由已知条件
,故
因此
易犯错误 不能抓住平面电磁波的特点,未应用沿轴传播这一特定条件.
引申拓展 求解此类题目时,将
用
表示出来,再已知条件下分析解析式
及其之间的关系即可.
28.设真空中矢势
可用复数傅里叶展开为
=
其中
是
的复共轭.
(1)证明
满足谐振子方程
.
(3)把
表示出来.
已知矢势
的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加,因此矢势
满足齐次达朗贝尔方程,将
的展开式代入达朗贝尔方程,用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论.
(1)由
为真空中矢势可知
若采用洛伦兹规范,则
满足达朗贝尔方程,即
的复数傅里叶展开式代入上式,有
即
要使上式恒成立,应有
整理以上两式,有
故结论得证.
为使上式恒成立,则有
(3)由
(2)有:
,且
29.设
是满足洛伦兹规范的矢势和标势.
(1)引入一矢量函数
(赫兹矢量),若令
=-
,证明
=
(2)若令
证明
满足方程
,写出
在真空中的推迟解.
(3)证明
可通过
用下列公式表出,
由题意可知:
满足洛伦兹规范,且
,只需将
代入其规范,化简后便可得出
,当
时,将
代入它们满足的基本方程便可求证.综合
(1)和
(2),通过
,便可得出
的表达形式.
(1)矢势
、标势
代入①式,得
可见
最多相差一个无散场
,可令
结论得证.
(2)由
满足得方程可知
若
,结合①、②两式可得到
化简,得
次方程于达朗贝尔方程形式完全相同,故推迟解
(3)将
分别代入
可得到
算符运算公式
可将④化简为
再利用③式可得到
因此,有
30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞,证明电偶极辐射和
磁偶极辐射都不会发生.
将这两个粒子看作一个系统,运用质心坐标系,则系统的总动量为零,找出两个粒子的速度、位矢关系,根据电偶极矩、磁偶极矩的定义,只要证明,便不会产生偶极辐射.
设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为
,速度
分别为,质量为
,电荷量为
,质心系中系统总动量为零,即
由于
,且相向而行,则有
+
=0②
系统的电偶极矩
所以不会产生电偶极矩辐射.
系统的磁偶极矩
=
由于
因此不会产生磁偶极矩辐射.
31.证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射.
证明:
设带电粒子体系有N个粒子,第i个粒子的质量为
,电荷电量为
,总质量为M,体系电偶极矩:
在
的非相对论情形,应用质心运动定理,设质心矢径为
即
将
(2)代入
(1)中,得
由于系统不受外力,则质心加速度
,所以
,没有电偶极辐射。
体系磁偶极矩
是体系的角动量,系统不受外力时,角动量守恒,因此
故没有磁偶极辐射。
32.设有一球对称的电荷分布,以频率
沿径向作简谐振动,求辐射场,
并对结果给以物理解释.
题设中并未说明体系的线度
是否满足
,因此不能看作偶极辐射,故以推断迟势公式求出矢势
,再讨论
.取电荷的对称中心为原点,场点位矢
的方向为轴,如图5.1
由于电荷分布是球对称,且沿径向做简谐运动,因此电流
场点P处的矢势
①
对于辐射区,
,故①式分母中的
②
②式中指数部分
能否用
代替,显然取决于
的比较,此处不能忽略,考虑电流分布的对称性,
只有
方向的分量.将近似条件代入①式,得
③
③式中
是一与
无关的常数.
因而辐射场
易犯错误
(1)把此体系的辐射当偶极辐射处理,实际上题设并未告知
这一条件,故应按一般情况讨论;
(2)由电流的球对称性错误地得出
,由电流球对称,只能得到
,而
,因为每个电流元
到
点的距离
,都不同.
引申拓展 对于辐射问题,首先看清题目是否给出或隐含了偶极辐射的条件
,若以给出才能当作偶极辐射处理,通过计算偶极矩来求
.否则按辐射问题的一般方法先求矢势
,再计算
33.一飞轮半径为R,并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为Q.设此飞轮以恒定角速度
旋转,求辐射场.
题中并未已知飞轮的几何线度
的关系,故也不能看作偶极辐射,应作一般讨论,由于电荷匀速转动,因此等效为一稳恒电流. 由于飞轮以恒定角速度
转动,形成的电流
式中
为电荷线密度与时间
无关,形成的电流也是稳恒的.稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场,而不会发生辐射,故辐射场
34.利用电荷守恒定律,验证
的推迟势满足洛伦兹条件.
证明:
本题是一个验证性问题,只需将
的推迟势代入洛伦兹条件
,等式两边相等即可.由于必须利用电荷守恒定律,则只需证出上式的右边含有
就行了.已知
的推迟势为
是场点的位矢,
是源点的位矢,
之间的关系为
①
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