高考理科数学二轮选择题的创新解题方法13页Word格式.docx

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答案　A

解析　设log3m＝log5n＝lgp＝a（a<

0），所以m＝3a，n＝5a，

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法

直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：

在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等．

1．（2019·

北京丰台区高三上学期期末）过双曲线

－

＝1（a>

0，b>

0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝

|OF|，则此双曲线的离心率为（　　）

A.

B．

C．2D．

答案　C

解析　在Rt△OAF中，tan∠AOF＝

，所以cos∠AOF＝

＝

，且|OF|＝c，所以|OA|＝a.根据题意有a＝

c，即离心率

＝2.

2．（2019·

西安市高三第三次质检）将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ON∥

CD，MN∥

AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，BO⊥AC，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝

，所以BD＝2，则OM＝

BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°

.所以直线AB与CD所成的角为60°

.故选B.

方法2排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．

例2　

（1）（2019·

南宁模拟）设函数f（x）＝

若f（x0）＞3，则x0的取值范围为（　　）

A．（－∞，0）∪（2，＋∞）

B．（0,2）

C．（－∞，－1）∪（3，＋∞）

D．（－1,3）

解析　取x0＝1，则f

（1）＝

＋1＝

＜3，故x0≠1，排除B，D；

取x0＝3，则f（3）＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.

（2）已知函数f（x）＝

的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a>

0，c<

B．a<

0，c>

C．a<

D．a<

0，b<

解析　依题意x≠－c，故－c>

0，则c<

0，排除B；

f（0）＝

>

0，故b>

0，排除D；

当x→＋∞时，f（x）<

0，则a<

0，排除A.综上所述，故选C.

排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况

（1）当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．

（2）再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．

1．已知向量a＝（－2，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（　　）

∪（2，＋∞）　　B．（2，＋∞）

C.

　　D.

解析　解法一：

因为a与b的夹角为钝角，所以a·

b<

0，且a与b不反向，所以－2λ－1<

0且λ≠2，解得λ∈

∪（2，＋∞）．

解法二：

因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；

当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A.

2．函数f（x）＝

的图象大致是（　　）

答案　D

解析　由函数的解析式得，函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝

＝f（x），故函数f（x）在定义域内是偶函数．当x＝±

1时，f（x）＝0，当x∈（0,1）∪（－1,0）时，f（x）<

0，可排除B，C；

当x→0时，f（x）→0，排除A，选D.

方法3特值法

从题干（或选项）出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：

特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．

例3　

（1）设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　）

A．3y＜2x＜5zB．2x＜3y＜5z

C．3y＜5z＜2xD．5z＜2x＜3y

解析　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.

蚌埠高三下学期第二次质检）函数y＝

，x∈（－π，π）的图象大致为（　　）

解析　设y＝f（x）＝

，则f（－x）＝－

＝－f（x），又f（x）的定义域关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A.由f

0，排除B.由f

0，排除C，故选D.

在题设条件成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略．

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是（　　）

A．a＋c＞2bB．a＋c＜2b

C．a＋c≥2bD．a＋c≤2b

解析　不妨令A＝B＝C＝60°

，则可排除A，B；

再令A＝30°

，B＝60°

，C＝90°

，可排除C，故选D.

2．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则

，

的大小关系不可能是（　　）

＜

D．

解析　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知

，此时C正确．取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知

<

，此时A正确．取x＝

，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝

，z＝

，此时易知

，此时D正确．综上，利用排除法可知选B.

方法4数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．

例4　

（1）已知动点P在椭圆

＋

＝1上，若点A的坐标为（3,0），点M满足|

|＝1，

·

＝0，则|

|的最小值是（　　）

C．2

D．3

解析　由|

|＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则

＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使|

|取得最小值，需使|

|取得最小值，而|

|的最小值为6－3＝3，此时|

|＝2

，故选C.

西安市高三第三次质量检测）若定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x）且x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，则方程f（x）＝log3|x|的根的个数是（　　）

A．4B．5

C．6D．7

解析　因为函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）是周期为2的周期函数．

又x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，所以函数f（x）的图象如图所示．

再作出y＝log3|x|的图象，易得两函数图象有4个交点，所以方程f（x）＝log3|x|有4个根．故选A.

利用数形结合思想解决最值问题的一般思路

利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．

（1）对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．

（2）对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．

开封市高三第三次模拟）已知a＝2ln3，b＝3ln2，c＝

，则a，b，c的大小关系为（　　）

c>

bB．b>

a

C．c>

a>

bD．c>

b>

解析　由题意得a＝ln9，b＝ln8，∴a>

b.c－a＝

－2ln3＝2

＝2·

，设f（x）＝x－elnx，

∴f′（x）＝1－

，令f′（x）＝0，得x＝e，故f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（e）＝0，又x→0和x→＋∞时，f（x）→＋∞，作出f（x）的大致图象如图所示．故当x>

e时，f（x）>

0，∵3>

e，∴f（3）>

0，即3－eln3>

0，

∴c－a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选C.

2．过点（

，0）引直线l与曲线y＝

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（　　）

B．－

C．±

D．－

解析　根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝

，即x2＋y2＝1（y≥0），直线l与x2＋y2＝1（y≥0）交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝

sin∠AOB≤

，且当∠AOB＝90°

时，S△AOB取得最大值，此时AB＝

，点O到直线l的距离为

，则∠OCB＝30°

，所以直线l的倾斜角为150°

，则斜率为－

.

方法5估算法

由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．

例5　

（1）如图，在多面体AB