中考数学 专题复习五 图形的折叠问题Word文件下载.docx
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考点:
翻折变换(折叠问题).
分析:
过B作BN⊥AC于N,BM⊥AD于M,根据折叠得出∠C′AB=∠CAB,根据角平分线性质得出BN=BM,根据三角形的面积求出BN,即可得出点B到AD的最短距离是4,得出选项即可.
解答:
解:
如图:
过B作BN⊥AC于N,BM⊥AD于M,
∵将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C′处,
∴∠C′AB=∠CAB,
∴BN=BM,
∵△ABC的面积等于6,边AC=3,
∴
×
AC×
BN=6,
∴BN=4,
∴BM=4,
即点B到AD的最短距离是4,
∴BP的长不小于4,
即只有选项A的3不正确,
故选A.
点评:
本题考查了折叠的性质,三角形的面积,角平分线性质的应用,解此题的关键是求出B到AD的最短距离,注意:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
【变式练习】
(2014•黑龙江牡丹江,第7题3分)已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A<∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A的度数是( )
第1题图
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
根据折叠的性质可知,折叠前后的两个三角形全等,则∠D=∠A,∠MCD=∠MCA,从而求得答案.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A<∠B,CM是斜边AB上的中线,
∴AM=MC=BM,
∴∠A=∠MCA,
∵将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,
∴CM平分∠ACD,∠A=∠D,
∴∠ACM=∠MCD,
∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°
.
故选:
A.
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理.关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化.
类型2:
四边形及其他图形中的折叠问题
矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度.矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形求边或者角的度数.
例题2:
(2015•山东泰安,第20题3分)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=6,BC=4
,则FD的长为( )
A.2B.4C.
D.2
翻折变换(折叠问题)..
根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG,然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等,根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF;
设FD=x,表示出FC、BF,然后在Rt△BCF中,利用勾股定理列式进行计算即可得解.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴AE=EG,AB=BG,
∴ED=EG,
∵在矩形ABCD中,
∴∠A=∠D=90°
,
∴∠EGF=90°
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中,
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),
∴DF=FG,
设DF=x,则BF=6+x,CF=6﹣x,
在Rt△BCF中,(4
)2+(6﹣x)2=(6+x)2,
解得x=4.
B.
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,翻折的性质,熟记性质,找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键.
(2015•铜仁市)(第8题)如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C1处,BC1交AD于点E,则线段DE的长为( )
A.3B.
C.5D.
翻折变换(折叠问题).
首先根据题意得到BE=DE,然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程,解方程即可解决问题.
:
设ED=x,则AE=8﹣x;
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠DBC;
由题意得:
∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED=x;
由勾股定理得:
BE2=AB2+AE2,
即x2=42+(8﹣x)2,
解得:
x=5,
∴ED=5.
C.
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题;
解题的关键是根据翻折变换的性质,结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.
【拓展演练】
1.(2015•江苏泰州,第16题3分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为 .
2,(2015•宁夏第15题3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,在CD上任取一点E,连接BE,将△BCE沿BE折叠,使点C恰好落在AD边上的点F处,则CE的长为 .
3.(2015•青海西宁第20题2分)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD为AC边上的高,将△ABC折叠,使点B与点D重合,折痕EF交BD于点D1,再将△BEF折叠,使点B于点D1重合,折痕GH交BD1于点D2,依次折叠,则BDn= .
4.(2015•滨州,第17题4分)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 .
5.(2014•上海,第18题4分)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为 (用含t的代数式表示).
6.(2014•山西,第23题11分)课程学习:
正方形折纸中的数学.
动手操作:
如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′.
数学思考:
(1)求∠CB′F的度数;
(2)如图2,在图1的基础上,连接AB′,试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系,并说明理由;
解决问题:
(3)如图3,按以下步骤进行操作:
第一步:
先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
第二步:
沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′,再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,对应点为D′;
第三步:
设CG、AH分别与MN相交于点P、Q,连接B′P、PD′、D′Q、QB′,试判断四边形B′PD′Q的形状,并证明你的结论.
【拓展演练】参考答案
翻折变换(折叠问题);
勾股定理;
矩形的性质..
由折叠的性质得出EP=AP,∠E=∠A=90°
,BE=AB=8,由ASA证明△ODP≌△OEG,得出OP=OG,PD=GE,设AP=EP=x,则PD=GE=6﹣x,DG=x,求出CG、BG,根据勾股定理得出方程,解方程即可.
如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=∠C=90°
,AD=BC=6,CD=AB=8,
根据题意得:
△ABP≌△EBP,
∴EP=AP,∠E=∠A=90°
,BE=AB=8,
在△ODP和△OEG中,
∴△ODP≌△OEG(ASA),
∴OP=OG,PD=GE,
∴DG=EP,
设AP=EP=x,则PD=GE=6﹣x,DG=x,
∴CG=8﹣x,BG=8﹣(6﹣x)=2+x,
根据勾股定理得:
BC2+CG2=BG2,
即62+(8﹣x)2=(x+2)2,
x=4.8,
∴AP=4.8;
故答案为:
4.8.
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理;
熟练掌握翻折变换和矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键
设CE=x,由矩形的性质得出AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°
.由折叠的性质得出BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD﹣CE=3﹣x.在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度,进而求出DF的长度;
然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题.
设CE=x.
∴AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°
∵将△BCE沿BE折叠,使点C恰好落在AD边上的点F处,
∴BF=BC=5,EF=CE=x,DE=CD﹣CE=3﹣x.
在Rt△ABF中,由勾股定理得:
AF2=52﹣32=16,
∴AF=4,DF=5﹣4=1.
在Rt△DEF中,由勾股定理得:
EF2=DE2+DF2,
即x2=(3﹣x)2+12,
x=,
故答案为.
本题考查了折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识,关键是熟练掌握勾股定理,找准对应边.
3.(2015•青海西宁第20题2分)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD为AC边上的高,将△
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