数列提高练习题Word格式文档下载.docx

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项和为f（n）-c,数列（bn）（b„>

0）的首项为c,且前〃项和S”满足S”一S”■产阿4■屈7（心2）・

（D求数列心｝和傀｝的通项公式；

⑵若数列｛>

｝前"

项和为人，问人>

黑的最小正整数"

是多少?

bQz2009

6・已知数列｛“”｝中，=|,点5,2如-4）在直线>

Jz,其中

”=1,2,3・・・.

（1）令—,求证数列仇｝是等比数列；

（2）求数列

仏酌通项；

⑶设S”,7；

分别为数列仇｝、仏｝的前〃项和，是否存在实数心使得数

列士J为等差数列？

若存在，试求出几.若不存在,则说明”J

理由。

7.已知数列｛“”｝的前〃项和为s”，设心是S”与2的等差中项，数列心｝

中，勺=1,

点P（b”,b,“）在直线y=x+2上。

（1）求数列｛"

”｝、｛〃“｝的通项公

式；

（2）若数列他｝的前“项和为B”，比较缶+召+…+鳥=与

1的大小；

（3）令人=久+冬+…+如，是否存在正整数M,使得Tn<

M对一切

5a25

正整数〃都成立？

谓说明理由。

8・已知正数数列他｝中.⑷=1,且关于x的方程

x~++—（«

„_|+2"

“）=0

（“胡,心2）有两个相等的实根。

（1）求证：

数列閉是等差数列;

（文科）

（2）求数列他｝的通项公式；

（3）设数列匕｝前“项之和S”，求证:

聽>

2—3。

9・已知数列仏｝的前〃项和为S”,且对一切正整数〃都有S,r=,?

+卜”。

（1）证明：

心+1+an=4"

+2;

（2）求数列仏｝的通项公式；

（3）设f（〃）=1一丄1一丄•・1一丄y/2fl+1,

I5人al）aJ

求证:

f（n+1）<

fW对一切neN•都成立。

10・设｛%｝是公差不为零的等差数列，S”为其前"

项和，满足

o22c^7

a；

+a；

=a；

+a^S?

=7

（D求数列匕｝的通项公式及前项和》；

（2）试求所有的正整数〃?

，使得込为数列｛©

｝中的项.

5+2

剑.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%,本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%.

（1）设第〃年（本年度为第一年）的投入为绻万元，旅游业收入为仇

万元，写出仇的表达式;

（2）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?

12・某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除已知旧城区的住房总面积为64“每年拆除的数量相同；

新城区计划第一年建设住房面积

"

屛，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年増加•设第"

（心1,且皿N）年新城区的住房总面积为心肿，该地的住房总面积为饥m2•

（1）求勺；

（2）若每年拆除"

肿,比较⑺与化的大小.

数列提高练习题答案

1-解

（1）当九=1,勺=S]=k+1,

n>

2,an=S”=kn2+n-[k（n-1）2+（n-1）]=2kn-k+1（*）

经验，“=1,（*）式成立，=2kn-k+\

⑵...g,如5成等比数列，•"

-Cl2m=>

即（4R加一R+l）'

=（2km-k+k+V）,

整理得:

mk（k-\）=09对任意的〃疋N*成立，

・・・k=0或k=l

2•解:

（1）证bj=a2-aA=1,

当幵X2时,bn=all+l-an=~--a„=--（a„-«

„_!

）=--b—

所以他｝是以1为首项，为公比的等比数列。

⑵由（D知咕畑-5=（-*）"

二

当心2时，q=q+（a2_q）+（a3_a?

）+・••+（5_%）

当心时，所以勺=|-|（-扩&

川）。

3.解：

（1）当§

=1时，S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列。

当少时2"

心-/）=4（1-小+如（1-小,

\_ql-g'

■■2（厂=q+q,■■q"

+q_2=0,••q=_2

・・・“”=4（-2）"

“=（-2严（6分）

（2）叽=log,\alt\=log2|（-2）,,+1\=n+\

]=]=_J1

hnbn^（«

+!

）（/?

+2）n+1n+2

丁11111111n

23347?

+1n+22n+22（n+2）

AW"

/."

W/lS+2）•••2M"

?

2（/7+2）2（“+2）2

又U

2（n+2）2

=1••/的最小值为]

2（〃+笃4）2（4+4）1616

n

4.解：

（D由题意知，°

”“*）・・・

・・・bn=31og[afl-2,勺=31og,ax-2=1

・•・b廿厂九=31ogia卄i-31og,an=3log[二=31og丨q=3

444Cln4

・•・数列他｝是首项坊=1.公差八3的等差数列・・・

（2）由⑴知'

心卉—⑺十）

••・5=⑶?

-2）x（-i-）\（ne^*）

s”=1X£

+4X（扌）2+7X（”‘+…+⑶7-5）x（+）T+⑶7_2）x（扌）"

于是：

=lx（l）2+4x（l）3+7x（l）4-F--+（37?

-5）x（lr+（3n-2）x44444

两式相减得

沁=；

+3[

（1）2+（I）3+…+（；

）"

]-⑶2-2）x（l）n+,斗®

+2）X（i）w+,.

44444424

G212/2+8z1xnrl/

・•・S〃=§

—x（-）/，+，（nwN*）

（3）•••c,t+1-c”=⑶7+1）•（：

严—⑶7-2）•（；

）”=9（1-h）•dyi+,,aeNT

444

当n=1时|c2=C|=—

•••当时，5取最大值是f

又nr+m-1—切正整数n恒成立

即nr+4m-5>

0得〃2>

1或加S—5■■■

当nn2时,Emv%即q=c2<

c3<

c4<

-<

cn

1,J

—nr+m-\>

—

44

5.解⑴•■•/（l）=a=*,

12

q=y（l）_c=§

_c,a2=[/

（2）-c]-[/（l）-c]=--»

©

=[/⑶-c]-[_/

（2）一小一专•

_4

又数列何成等比数列，===,所以C=l；

-、—,

27

又公比q吕气.所以^=-|flY_，=-2flYZ；

•••S”-S“_严（区-际）（妊+尺）=松+尺（心2）

又乞>

0,”0,—応=1;

数列｛施｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，花>

l+（“-l）xl=〃，

当心2,bn=Slt-S—=n~=2n-\;

/.bn=2〃一1（nwN）;

（2）7>

丄+丄+丄+...+丄=丄+丄+丄+...+1

b}b2b2b3b3b4仇化+】1x33x55x7（2〃-l）x（2〃+l）

_3,_313

424

又仇=%】一5一1，勺屮=山+2一％1一1

^+（7?

）an+n如-~-1

5一1=22=2=1

hn%2一％1一1%_5_1勺科一勺一12

•••｛如是以-斗为首项，以穆为公比的等比数列.

42

（2）由⑴知，仇=一》

=-|x^-,

I31|31

••・色4_5_1=_三*冷，・・・“2_4_1=_牙＞＜牙，

.31

心22心

将以上各式相加得:

存在2=2,使数列｛组込｝是等差数列.

•/Sfj=q+a+•・・+=3（—+—+•…—）+（1+2+・・・+/?

）—2/?

222

匕1_丄、

2•Tn（n+1）1矿_3”3zr-3/7

=3x+—-2/?

=3

（1）+=++3・

J2T2T2

2

7（13133

Tn=b、+b,+•••+»

=一=__（1——）=__+—.

1-”]_丄2T22n+1

~2

数列｛匕匀是等差数列的充要条件是益也=加+、3是常数）

nn

即Sn+ATn=An1+Bn.

T7G计3H2-3nQ”33、n2-3/?

1、

又工+必一戶+=+3+兄二+戶2=+3（匕）（】-歹）

••当且仅当1-亠0,即"

2时，数列｛5±

如｝为等差数列.

2n

解法■存在2=2,使数列｛»

^｝是等差数列.

由（I）、（II）知.a„+2bn=n-2S„+2T=-2n

S„+AT„_!

^1-2n-2Tn+ATn_n-32-2

==+—Tn

n2n

——（1——）21Q

又人=b\+6+•••+$=———=--

（1）=--+-^

r1-”―丄22”22n+,

S”+几人=打_3]兄_2（3计3nF~iT2戶

••当且仅当兄=2时，数列｛仝匹｝是等差数列

7.解：

（1）依题设，2an=+2,贝lj2q=\+2=q+2,/.aJ=2

当n22时，an=SfJ-S—[=（2an_2）_（2q—_2）=2a一2an^

即©

=2%,数列｛心｝是公比为2,首项为2的等比数列,

因为点P（W”+J在直线y=x+2上，故乞+1=乞+2,即仇+|—仇=2

故数列他｝是公差为2,首项为1的等差数列，则b,_=2—l

（2）由

（1）有厲=勺+比+…+仇9贝97瓦=门故

]_]_1__1

J3Q田n（n+\）nn+\