例谈初中几何中的折叠问题Word格式文档下载.docx
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解:
(1)同意.如图,设AD与EF交于点G.
由折叠知,AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.
又由折叠知,∠AGE=∠DGE,∠AGE+∠DGE=180°
,
所以∠AGE=∠AGF=90°
所以∠AEF=∠AFE.
所以AE=AF,即△AEF为等腰三角形.
(2)由折叠知,四边形ABFE是正方形,∠AEB=45°
所以∠BED=135度.
又由折叠知,∠BEG=∠DEG,
所以∠DEG=67.5度.从而∠α=90°
﹣67.5°
=22.5°
.
1.课程学习:
正方形折纸中的数学.
动手操作:
如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′.
数学思考:
(1)求∠CB′F的度数;
(2)如图2,在图1的基础上,连接AB′,试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系,并说明理由;
解决问题:
(3)如图3,按以下步骤进行操作:
第一步:
先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
第二步:
沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′,再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,对应点为D′;
第三步:
设CG、AH分别与MN相交于点P、Q,连接B′P、PD′、D′Q、QB′,试判断四边形B′PD′Q的形状,并证明你的结论.
2.折叠问题:
(1)如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,折痕的一端G点在边BC上,BG=10.
①当折痕的另一端点F在AB边上时,如图①,求△EFG的面积;
②当折痕的另一端点F在AD边上时,如图②,证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
(2)在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=13.如图③所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ.当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,求点A′在BC边上可移动的最大距离
3.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上,BG=10.
(1)当折痕的另一端点F在AB边上时,如图①,求△EFG的面积;
(2)当折痕的另一端点F在AD边上时,且B,F及A的对应点H三点共线,如图②,证明:
四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长
4.
(1)动手操作:
如图①,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点c'
处,折痕为EF,若∠ABE=20°
,那么∠EFC'
的度数为
125°
.
(2)观察发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图②);
再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?
(3)实践与运用:
将矩形纸片ABCD
按如下步骤操作:
将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F;
将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ(如图④),求∠MNF的大小.
5.对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
再一次折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA′,EA′,展开,如图1;
再沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,展开,如图2.
(1)证明:
∠ABE=30°
;
(2)证明:
四边形BFB′E为菱形.
6.课本中,把长与宽之比为
的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.
(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:
沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图2甲);
沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图2乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;
沿直线DM折叠(如图2丙),此时点G恰好与N点重合.
请你探究:
矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?
(3)不难发现:
将一张标准纸按如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=
,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?
探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.
…
7.观察与发现:
(1)小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);
再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).你认为△AEF是什么形状的三角形?
为什么?
实践与运用:
如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠:
对折、展平,得折痕EF(如图①);
沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图②);
展平,得折痕GC(如图③);
沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处(如图④);
沿GC′折叠(如图⑤);
展平,得折痕GC′、GH(如图⑥).
(2)在图②中连接BB′,判断△BCB′的形状,请说明理由;
(3)图⑥中的△GCC′是等边三角形吗?
二与圆有关的折叠问题
A
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- 初中 几何 中的 折叠 问题