第一章 矩阵与线性方程组Word格式文档下载.docx
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j=1,2,…,n)排成一个矩形数表
A=
(1.2)
称为一个m行n列矩阵(matrix),简称为m×
n矩阵。
其中横向各排称为行,纵向各排称为列,m×
n个数叫作矩阵A的元或元素;
aij叫做矩阵A的第i行第j列元;
所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作O。
元是实数的矩阵称为实矩阵,元是复数的矩阵称为复矩阵。
式(1.2)也简记为:
A=(aij)m×
n或A=(aij)
一般情况下,我们用大写字母A,B,C,…表示矩阵。
本书中的矩阵除特殊说明外,都指实矩阵。
定义1.2如果两个矩阵A,B有相同的行数与相同的列数,并且对应位置的元均相等,则称矩阵A与矩阵B相等,记为A=B。
即如果A=(aij)m×
n,B=(bij)m×
n,且aij=bij(i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n),则A=B
我们可以对矩阵定义一些运算,它们都是有其实际背景的。
为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示,先引进矩阵的乘法运算。
定义1.3设矩阵A=(aik)m×
l的列数与B=(bkj)l×
n行数相同,则由元素
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ailblj=
(i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n)
构成的m行n列矩阵C=(cij)m×
n=(
)m×
n称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为C=AB
如果记
A=
x=
b=
则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程
Ax=b(1.3)
1.1.2矩阵的基本运算及性质
需要指出,能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。
矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用,伴随计算机技术的飞速发展,矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中,成为解决线性问题的有力工具。
矩阵已经有了完整的理论体系,本小节主要介绍矩阵的基本运算。
定义1.4设有两个m×
n矩阵A=(aij)m×
n,B=(bij)m×
n,那么A与B的和记作A+B,规定为
A+B=
应当注意,只有两个矩阵是同型矩阵,即它们的行数、列数分别对应相等时,这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C都是m×
n矩阵)
(1)A+B=B+A
(2)(A+B)+C=A+(B+C)
设矩阵A=(aij),记
-A=(-aij)
-A称为矩阵A的负矩阵,显然有
A+(-A)=O
由此规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B)
定义1.5数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为
λA=Aλ=
设A、B为m×
n矩阵,λ、μ为数,数乘矩阵满足下列运算规律
(1)(λμ)A=λ(μA)
(2)(λ+μ)A=λA+μA
(3)λ(A+B)=λA+λB
这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。
下面给出一些矩阵基本运算的例子。
例1.1设A=
B=
则A+B=
例1.23
=
例1.3矩阵乘法
=
例1.4矩阵乘法
例1.5给定矩阵A=
则有
AB=
=O
BA=
≠O
由定义及例1.5可以看出,矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别:
(1)矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的,即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致,否则乘法无意义。
(2)矩阵的乘法一般是不可交换的,即在一般情况下,AB≠BA。
实际上,AB有意义时,BA不一定有意义,即使有意义,两者也不一定相等。
(3)两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵。
因而,由AB=O并不能推出A=O或B=O。
随之而来的是:
由AB=AC,且A≠O,并不能推出B=C。
可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律(假设运算都是可行的)
(1)结合律A(BC)=(AB)C
(2)分配律(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC
(3)对任一数k,有k(AB)=(kA)B=A(kB)
矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数。
对于矩阵,还可以定义转置运算。
定义1.6把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵,称为A的转置(transpose),记作AT(或At,或
)。
例如矩阵A=
的转置矩阵为AT=
矩阵的转置满足如下运算规律(假设其中所涉及的运算都是有意义的)
(1)(AT)T=A
(2)(A+B)T=AT+BT
(3)(λA)T=λAT
(4)(AB)T=BTAT
前三个规律是显然的,现在证明(4):
设A=(aij)是m×
n矩阵,B=(bij)是n×
p矩阵。
于是 AT=(
)n×
m ,BT=(
)p×
n,其中
=aji,
=bji
BTAT中第i行第j列元为
而(AB
中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元,即
所以(AB
=BTAT 证毕
设A为n阶方阵,如果满足AT=A,即
aij=aji(i,j=1,2,…,n)
那么A称为对称阵。
对称阵的特点是:
它的元以主对角线为对称轴而对应相等。
1.1.3几种特殊形式的矩阵
如果矩阵A=(aij)行数与列数等于n,则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵)。
在方阵中,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,主对角线上的元称为对角元。
主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵。
三角形矩阵有两种,分别称
或
为上三角形矩阵或下三角形矩阵。
主对角线以外全为零的n阶方阵
Λ=
称为对角线矩阵(diagonalmatrix),简称对角阵,也可以记为
Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)
主对角线上元都为1的n阶对角阵
称为n阶单位矩阵(identitymatrix),记为E或En。
在矩阵的乘法运算中,单位矩阵具有如下性质:
对任意矩阵A,B,有EA=A,BE=B
这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。
1.1.4逆矩阵
定义1.7设A是一个n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得
AB=BA=E
则称A为可逆阵,B是A的逆矩阵(inverse),简称逆阵;
可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵。
性质1.1如果方阵A可逆,则A有唯一的逆阵。
证明设矩阵B、C都是A的逆阵,则有
B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C
所以A的逆阵是唯一的。
证毕
由于可逆阵A的逆阵为唯一确定,所以可以用符号A-1表示,有
AA-1=A-1A=E
利用逆矩阵的记号,可以方便地表示出某些线性方程组的解。
考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组:
其系数矩阵是方阵
假设A可逆,则可对如上方程组的矩阵表示形式
Ax=b
两端同时左乘A-1,得到
A-1Ax=A-1b
即 Ex=A-1b
从而解得 x=A-1b
这说明,只要能够求得A-1,则利用矩阵的乘法,就可以求出方程组的解。
为了能求得A-1,需要进一步探讨逆矩阵的性质。
性质1.2如果矩阵A可逆,且AB=E,则必有BA=E;
如果矩阵A可逆,且BA=E,则必有AB=E。
证明由A可逆,必有A-1A=AA-1=E又已知AB=E
于是有BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E
同理可以证明后一结论。
性质1.3如果n阶方阵A,B都可逆,则AB也可逆,并且
(AB)-1=B-1A-1
证明由于(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E
利用性质1.2直接可得
(B-1A-1)(AB)=E
所以A可逆,由逆阵的唯一性得:
(AB)-1=B-1A-1证毕
这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况,即
(A1A2…An)-1=An-1…A2-1A1-1
性质1.4如果方阵A可逆,则A-1可逆,而且(A-1)-1=A.
证明直接利用逆阵的定义即可证明。
性质1.5如果方阵A可逆,则A的每一行都不能全为零,A的每一列也都不能全为零。
证明假设A的第i行全为零,则由矩阵乘法的定义可知AA-1的第i行全为零,这与AA-1=E矛盾。
所以A的每一行都不能全为零。
同理,A的每一列也都不能全为零。
性质1.6如果方阵A可逆,则AT,kA(k为任一非零常数)都可逆,且
(AT)-1=(A-1)T及(kA)-1=
A-1
证明因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E以及(kA)(
A-1)=(k
)(AA-1)=E
由性质1.2及定义即得结论。
1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
1.2.1线性方程组的同解变换
对于(1.1)所示的线性方程组,可以做如下的三种变换:
(1)互换两个方程的位置;
(2)把某一个方程两边同乘以一个非零常数c;
(3)将某一个方程加上另一个方程的k倍。
这三种变换都称为初等变换。
应当指出,如上的变换是可逆的。
也就是,如果经过一次变换把方程组(1.1)变成一个新方程组,那么,新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。
具体讨论如下:
(1)如果互换方程组(1.1)中第i,j两方程的位置,则对新方程再互换第i,j两方程的位置就变回原方程组(1.1);
(2)如果将方程组(1.1)的第i个方程乘以非零常数c,那么,只要将新方程组的第i个方程乘以非零常数1/c就变回方程组(1.1);
(3)如果将方程组(1.1)的第j个方程加上第i个方程的k倍,那么,只要将新方程组的第j个方程加上第i个方程的-k倍就变回原方程组(1.1)。
因此,如果将方程组(1.1)经过若干次变换化为一个新方程组,那么,新方程组也可以经过若干次变换化为一个原方程组(1.1)。
另外,在做变换的过程中,方程组中方程的个数既不增加也不减少。
定理1.1设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组,则新方程组与原方程组同解。
证明设方程组(1.1)有一组解
x1=k1,x2=k2,…,xn=kn,(1.4
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