函数常考题型有答案Word文件下载.docx
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(4)指、对数函数的底数必须大于零且不等于1;
(4)式子
。
(5)三角函数的正切
2、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。
3、对于复合函数
的定义域问题应注意以下几点:
(1)
,指的是x的取值范围为[a,b],而不是g(x)的范围为[a,b].
(2)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需由
解不等式,求出x.
(3)已知函数f[g(x)]的定义域,求函数f(x)的定义域,只需求函数g(x)的值域。
4、如果是实际问题,函数的定义域还应考虑使实际问题有意义。
思路与方法:
求函数的定义域往往归结为解不等式(组)的问题,解不等式组取交集时可借助数轴,注意端点值或边界值。
例题:
求下列函数的定义域
,
(2)
,(3)
补充作业:
1.已知函数f(x)的定义域为(0,1),求
的定义域。
2.已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求
3.已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求
4.已知函数
的定义域为R,求实数m的取值范围
5.已知函数
的定义域是R,则实数a的取值范围是(B)
(三)、函数解析式的求法。
1配凑法(直接法、定义法):
由已知条件
,可将F(x)改写成g(x)的表达式,然后以x代替g(x),便得f(x)的表达式。
例1已知
2换元法:
已知
,求f(x)的问题,可以设t=g(x),从中解出x,代入g(x)进行换元,最后把t换成x.
例2已知
答案:
3待定系数法:
适合于已知函数类型求解析式的问题,可设定函数的解析式,根据条件列出方程(组)求出待定系数得解析式。
例3已知f(x)是一次函数,且满足
f(x)=2x+17
练习:
已知f(x)是一次函数,且满足
答案:
f(x)=x+1
4函数方程法:
已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如f(-x),
可根据已知等式再构造其它等式组成方程组,通过解方程组求f(x).
例:
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,求f(x)。
练习
1.已知
则f(x)的解析式是(C)
2.已知
,则f
(2)等于(D)
3.若函数
的定义域和值域都是[0,1],则a等于(D)
4.函数f(x)满足
,且
成等差数列,则x的值是(C)
A2B3C2或3D2或-3
5.已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f
(1)=1,
(1)若
,试求f(x)的解析式;
(2)若
且
求实数a的取值范围。
(四)函数的值域与最值
知识要点:
1.函数的值域是指函数y=f(x)的函数值的集合。
有下列几种情形:
(1)当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;
(2)当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;
(3)当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
(4)当函数由实际问题给出时,函数的值域还要考虑问题的实际意义。
2.请熟悉下列几种常见函数的值域:
(1)一次函数y=kx+b,
的值域是________________________
(2)二次函数
,当a>
0时的值域是__________________________
当a<
(3)反比例函数
的值域是______________________________
(4)指数函数
的值域是__________________________
(5)对数函数
(6)正、余弦函数的值域为_____________;
正、余切函数的值域为_____________;
(7)“和倒函数”
的值域为_____________;
若
可转化为
2.求函数值域的基本方法
(1)观察法:
例1求函数
的值域。
(2)分离常数法(也叫部分分式法)
例2求函数
(3)利用均值不等式求值域。
(注意条件“一正二定三相等”要同时满足
(4)换元法:
运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定的另一函数(如二次函数),从而求得原函数的值域。
形如
的函数常用此法。
(注意换元后,新元的取值范围)。
(5)配方法:
适用于求二次函数或转化为形如
的函数的值域,后者要注意f(x)本身的范围。
(6)利用函数的单调性求值域
(7)数形结合法:
利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象求值域
(8)利用函数的有界性:
如
可用y表示出sinx,再根据
解不等式求y.
如求函数
的值域,由
得
,而
求解。
(10)导数法:
利用导数求闭区间上函数最值的步骤是:
(1)求导,令导数为0;
(2)确定极值点,求极值;
(3)比较端点函数值与极值,确定最大、最小值或值域。
例求下列函数的值域(备选):
;
(2)
(3)
(4)
(5)
课后作业
完成课本P15页习题及以下补充练习
1函数
的值域为(B)
2已知函数
(1)若函数的值域为
,求a的值。
(2)若函数的值域为非负数,求函数
(答案:
3、设
的最小值是(C)
C-3D
函数的奇偶性和周期性
一、知识回顾:
1、函数的奇偶性:
(1)对于函数
,其定义域关于原点对称:
如果对于定义域中的任意
都有_______________________,那么函数
为奇函数;
都有________________________,那么函数
为偶函数.
(2)对于定义的理解:
①定义中的
都在
的定义域中,函数定义域关于原点对称是该函数具有奇偶性的必要条件。
研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称(定义域优先)。
②若函数
在x=0有定义,且
为奇函数,则一定有
成立
③若函数
是偶函数,那么
④既是奇函数、又是偶函数的函数:
(3)图象特征:
函数f(x)是奇函数
图象关于__________对称,函数f(x)是偶函数
图象关于_________对称。
(4)奇偶函数的性质:
奇
奇=______;
偶
偶=______;
奇函数在对称区间的增减性;
偶函数在对称区间的增减性.
(5)函数奇偶性的判断:
1.定义法(先看定义域是否关于原点对称),2.图象法。
3.利用奇偶函数的性质。
分段函数判断奇偶性应分段证明f(-x)与f(x)的关系。
只有当对称的两段上都满足相同关系时,才能判断其奇偶性。
也可通过画出图象看是否关于原点或y轴对称来判断。
抽象函数奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出f(-x)与f(x)的关系。
二、函数的周期性
定义:
对于函数
,如果存在一个非零常数T,使得当
取定义域内的每一个值时,都有________________,则
为周期函数,T为这个函数的周期.如果在所有周期中存在一个最小的正数,就把这个最小正数叫做_____________________
理解:
若T为f(x)的周期,则
也一定是f(x)的周期。
(2)周期性的判断
判断一个函数是否为周期函数:
一是根据定义,二是记住一些重要结论:
如果函数对定义域中任意x满足
等,则f(x)是周期函数,2a是一个周期,等等,根据这些条件可以快速获得周期。
三、例题分析:
例1、
(1)如果定义在区间
上的函数
为奇函数,则
=_____
(2)若
为奇函数,则实数
_____
(3)若函数
是定义在R上的奇函数,且当
时,
,那么当
=_______
(4)设
是
上的奇函数,
,当
等于()
(A)0.5(B)
(C)1.5(D)
(5)函数
是偶函数,且在
上是增函数,又
,求m的取值范围。
)
例2、判断下列函数的奇偶性
(2)
(3)
例3、已知函数f(x)对一切
,都有
成立,
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
课后作业:
完成课本P18页习题及以下补充练习:
1(05福建卷)
是定义在R上的以3为周期的偶函数,且
,则方程
=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()
A.5B.4C.3D.2
2(04年全国卷一.理2)已知函数
()
A.bB.-bC.
D.-
3、已知函数
在R是奇函数,且当
的解析式为_______________
4、函数
是偶函数的充要条件是___________
5、已知
,其中
为常数,若
_______
6已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且它的图象关于直线x=2对称,则函数f(x)的周期为_________,若f(63)=-2,则f
(1)=____________.答案:
T=4,-2
7、函数
是偶函数,且
不恒等于零,则
()
(A)是奇函数(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数
8定义在
是减函数,且是奇函数,若
,求实数
的范围。
9(07全国I)设
,
是定义在R上的函数,
,则“
均为偶函数”是“
为偶函数”的()
A.充要条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件
10(07天津)他在
上定义的函数
,若
在区间
是减函数,则函数
A.在区间
上是增函数,区间
上是增函数
B.在区间
上是减函数
C.在区间
上是减函数,区间
D.在区间
11(07重庆)已知定义域为R的
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