计数原理第4讲 排列组合方法归纳大全Word文件下载.docx
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种不同的方法,…,做第
步有
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
解:
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:
分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
种
练习题:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为42
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!
种排法即
!
6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
种方法,根据分步计数原理装球的方法共有
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个?
把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有
种排法,再排小集团内部共有
种排法,由分步计数原理共有
种排法.
1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为
2.5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?
2.
求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种?
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
分三步取书得
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
种取法,而这些分法仅是
(AB,CD,EF)一种分法,故共有
种分法。
1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?
(
)
2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法(1540)
3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名,则不同的安排方案种数为______(
十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有34
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.(27)
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
种
某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?
(120)
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
3号盒4号盒5号盒
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?
(9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种
十六.分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除
分析:
先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×
3×
5×
7×
11×
13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为:
练习:
正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
对异面直线
十七.化归策略
例17.25人排成5×
5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种?
十八.数字排序问题查字典策略
例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140
十九.树图策略
例19.
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中
号人不坐
号椅(
)的不同坐法有多少种?
二十.复杂分类问题表格策略
例20.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
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