高考第一轮复习数学54解斜三角形Word文档下载推荐.docx
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两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视,通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来,用向量方法证明两定理,突出了向量的工具性,是向量知识应用的实例.另外,解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.
●点击双基
1.(2002年上海)在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析:
由2cosBsinA=sinC得
×
a=c,∴a=b.
答案:
C
2.下列条件中,△ABC是锐角三角形的是
A.sinA+cosA=
B.
·
>0
C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,c=3
,B=30°
由sinA+cosA=
得2sinAcosA=-
<0,∴A为钝角.
由
>0,得
<0,∴cos〈
,
〉<0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC>0,得tan(A+B)·
(1-tanAtanB)+tanC>0.
∴tanAtanBtanC>0,A、B、C都为锐角.
,得sinC=
,∴C=
或
3.(2004年全国Ⅳ,理11)△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°
,△ABC的面积为
,那么b等于
A.
B.1+
C.
D.2+
∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.又△ABC的面积为
,且∠B=30°
,故由S△ABC=
acsinB=
acsin30°
ac=
,得ac=6.∴a2+c2=4b2-12.由余弦定理,得cosB=
,解得b2=4+2
.又b为边长,∴b=1+
B
4.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_______.
由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴
.∴∠A=
5.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是_______.
若c是最大边,则cosC>0.∴
>0,∴c<
.又c>b-a=1,
∴1<c<
(1,
)
●典例剖析
【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:
A=2B.
剖析:
研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.
证明:
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得sin2A=sinB(sinB+sinC)
sin2A-sin2B=sinBsinC
-
=sinBsin(A+B)
(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)
sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B),
因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.
评述:
利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.
思考讨论
(1)该题若用余弦定理如何解决?
解:
利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA=
,cos2B=2cos2B-1=2(
)2-1=
-1=
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B.
(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?
由题设a2=b(b+c),得
①,
作出△ABC,延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是
,所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1,
所以A=2B.
近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
【例2】(2004年全国Ⅱ,17)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=
,sin(A-B)=
(1)求证:
tanA=2tanB;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以
(1)为铺垫,解决
(2).
(1)证明:
∵sin(A+B)=
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
<A+B<π,∴sin(A+B)=
∴tan(A+B)=-
即
=-
.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=
(负值舍去).得tanB=
,∴tanA=2tanB=2+
设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=
+
.由AB=3得CD=2+
,所以AB边上的高为2+
本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.
【例3】(2004年春季北京)在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及
的值.
因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定理.由b2=ac可变形为
=a,再用正弦定理可求
解法一:
∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.
又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,由余弦定理得
,∴∠A=60°
在△ABC中,由正弦定理得sinB=
∵b2=ac,∠A=60°
=sin60°
解法二:
在△ABC中,
由面积公式得
bcsinA=
acsinB.
,∴bcsinA=b2sinB.
=sinA=
解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年浙江,8)在△ABC中,“A>30°
”是“sinA>
”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
在△ABC中,A>30°
0<sinA<1sinA>
sinA>
30°
<A<150°
A>30°
2.如图,△ABC是简易遮阳棚,A、B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°
角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
作CE⊥平面ABD于E,则∠CDE是太阳光线与地面所成的角,即∠CDE=40°
,延长DE交直线AB于F,连结CF,则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为α.要使S△ABD最大,只需DF最大.在△CFD中,
=
∴DF=
∵CF为定值,∴当α=50°
时,DF最大.
3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=
(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______.
由S=
(a2+b2-c2)得
absinC=
2abcosC.∴tanC=1.∴C=
45°
4.在△ABC中,若∠C=60°
,则
=_______.
.(*)
∵∠C=60°
,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入(*)式得
=1.
1
5.在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是
A.b=20,A=45°
,C=80°
B.a=30,c=28,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=12,c=15,A=120°
由a=14,b=16,A=45°
及正弦定理,得
,所以sinB=
.因而B有两值.
培养能力
6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列,求y=
的取值范围.
∵b2=ac,∴cosB=
(
)-
≥
∴0<B≤
y=
=sinB+cosB=
sin(B+
).∵
<B+
≤
<sin(B+
)≤1.故1<y≤
7.已知△ABC中,2
(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为
(1)求∠C;
(2)求△ABC面积的最大值.
(1)由2
(sin2A-sin2C)=(a-b)·
sinB得2
)=(a-b)
又∵R=
∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.
∴cosC=
又∵0°
<C<180°
,∴C=60°
(2)S=
ab
=2
sinAsinB=2
sinAsin(120°
-A)
sinA(sin120°
cosA-cos120°
sinA)
=3sinAcosA+
sin2A
sin2A-
sin2Acos2A+
sin(2A-30°
)+
∴当2A=120°
,即A=60°
时,Smax=
8.在△ABC中,BC=a,顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动,求
令AB=kx,AC=x(k>0,x>0),则总有sinB=
,sinC=
(图略),且由正弦定理得sinB=
sinA,所以a2=kx2·
sinBsinC=kx2sinA,由余弦定理,可得cosA=
(k+
-sinA),所以k+
=sinA+2cosA≤
.所以k2-
k+1≤0,所以
≤k≤
所以
的取值范围为[
].
探究创新
9.某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?
并求其最短距离.(不要求作近似计算)
在△AOB中,设O
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