高中数学第一章立体几何初步131空间几何体的表面积学案苏教版必修2Word下载.docx
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棱台的表面积如何求?
梳理 正棱锥被________________________所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,则其侧面积是S正棱台侧=________________.
知识点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?
表面积为多少?
思考2 圆锥SO及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?
思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?
梳理
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积:
S底=
侧面积:
S侧=,
表面积:
S=
圆锥
S底=,
圆台
上底面面积:
S上底=,
下底面面积:
S下底=,
类型一 求多面体的侧面积和表面积
例1 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<
b).
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°
,求棱台的侧面积;
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.
引申探究
若四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,求底面的边长.
反思与感悟
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长,高,斜高,侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等,因此求侧面积时,可先求一个侧面的面积,然后乘以侧面的个数.
(3)棱台是由棱锥所截得到的,因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.
跟踪训练1 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.
类型二 求旋转体的表面积
若本例条件改为:
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,求圆台较小底面的半径.
例2 圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°
,那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)
反思与感悟
(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积,只需求出上、下底半径和母线长即可,求半径和母线长时常借助轴截面.
(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题,即在展开图内求母线的长,再进一步代入侧面积公式求出侧面积,进而求出表面积.
(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具,因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.
跟踪训练2 若圆锥的母线长为2cm,底面圆的周长为2πcm,则圆锥的表面积为________cm2.
类型三 简单组合体的表面积
例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示(单位:
m),请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布?
(精确到0.01m2)
反思与感悟
(1)组合体的侧面积和表面积问题,首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成,然后再根据条件求各个简单组合体的基本量,注意方程思想的应用.
(2)在实际问题中,常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料,如何节省原材料等,在求解时应结合实际,明确实际物体究竟是哪种几何体,哪些面计算在内,哪些面实际没有.
跟踪训练3 有两个相同的直棱柱,高为
,底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>
0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求a的取值范围.
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是________.
2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为________.
3.若正三棱锥的斜高是高的
倍,则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍.
4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,则这个棱柱的侧面积为________cm2.
5.以圆柱的上底中心为顶点,下底为底作圆锥,假设圆柱的侧面积为6,圆锥的侧面积为5,求圆柱的底面半径.
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积;
棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积;
棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表=2πr(r+l);
S圆锥表=πr(r+l);
S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 直棱柱:
侧棱和底面垂直的棱柱;
正棱锥:
底面是正多边形,顶点在底面的正投影是底面中心.
思考2 S直棱柱侧面积=ch,即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.
思考3 S正棱锥侧面积=
nah′=
ch′,即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.
思考4 一般地,我们可以把多面体展开成平面图形,求出展开图中各个小多边形的面积,然后相加即为多面体的表面积.
梳理
(1)①垂直 ②ch
(2)①底面中心 ②
ch′
知识点二
思考1 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正棱台.
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.
思考2 S正棱台侧面积=
n(a+a′)h′=
(c+c′)h′.
思考3 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.
棱台的表面积等于侧面积与底面积的和.
梳理 平行于底面的平面
(c+c′)h′
知识点三
思考1 S侧=2πrl,S表=2πr(r+l).
思考2 底面周长是2πr,利用扇形面积公式得S侧=
×
2πrl=πrl,
S表=πr2+πrl=πr(r+l).
思考3 由题图知,圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,则,
=
,
解得x=
l.
S扇环=S大扇形-S小扇形
(x+l)×
2πR-
x×
2πr
=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l,
所以S圆台侧=π(r+R)l,S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
梳理 2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl
πr(r+l) πr′2 πr2 π(r′l+rl)
π(r′2+r2+r′l+rl)
题型探究
例1 解
(1)如图所示,设O1、O分别上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC,连结C1F,则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO=45°
CE=CO-EO=CO-C1O1=
(b-a).
在Rt△C1CE中,C1E=CE=
(b-a),
又EF=CE·
sin45°
∴C1F=
∴S侧=
(4a+4b)×
(b-a)
(b2-a2).
(2)∵S侧=S底,S底=a2+b2,
∴
(4a+4b)·
h斜=a2+b2,
∴h斜=
.
又EF=
∴h=
解 如图,设上底面边长为xcm,则下底面边长为(x+10)cm,
在Rt△E1FE中,EF=
=5(cm).
∵E1F=12cm,
∴斜高E1E=13cm.
∴S侧=4×
(x+x+10)×
13
=52(x+5),
S表=52(x+5)+x2+(x+10)2
=2x2+72x+360.
∵S表=512cm2,
∴2x2+72x+360=512,
解得x1=-38(舍去),x2=2.
∴x2+10=12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2cm、12cm.
跟踪训练1 解 如图,设PO=3,
PE是斜高,
∵S侧=2S底,
∴4·
·
BC·
PE
=2BC2,
∴BC=PE.
在Rt△POE中,
PO=3,
OE=
BC=
PE,
∴9+
2=PE2,
∴PE=2
∴S底=BC2=PE2=(2
)2=12,
S侧=2S底=2×
12=24,
∴S表=S底+S侧=12+24=36.
例2 1100π
解 设圆台较小底面的半径为r,
则另一底面半径为3r,由题意知母线长l=3,∵S侧=π(r+3r)×
3=84π,
∴r=7.
跟踪训练2 3π
例3 解 上部分圆锥体的母线长为
m,其侧面积为S1=π×
(m2).
下部分圆柱体的侧面积为S2=π×
5×
1.8(m2).
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S=S1+S2=π×
+π×
1.8≈50.05(m2).
跟踪训练3 解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱,有四种情况:
四棱柱有一种,边长为5a的边重合在一起,表面积为24a2+28.
三棱柱有三种,边长为4a的边重合在一起,表面积为24a2+32;
边长为3a的边重合在一起,表面积为24a2+36;
两个相同的直三棱柱竖直放在一起,表面积为12a2+48.
最小的是一个四棱柱,
即24a2+28<
12a2+48,
即a2<
,又a>
0,∴0<
a<
∴a的取值范围为
当堂训练
1.2π 2.4 3.2 4.112或72
5.解 如图所示,设圆柱底面圆的半径为R,高为h,则圆锥的底面半径为R,高为h,设圆锥母线长为l,
则有l=
.①
依题意,得
②
由①②,得R=
,即圆柱的底面半径为
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