第六章广义逆矩阵文档格式.docx
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成立,其中
代表任意一种向量范数,
。
上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式
其中,
是某个
矩阵?
这个矩阵
是通常逆矩阵的推广。
1920年,E.H.Moore首先提出广义逆矩阵的概念,由于Moore的方程过于抽象,并未引起人们的重视。
1955年,R.Penrose给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。
定义2设矩阵
若存在矩阵
满足下列Penrose方程
(1)
;
(2)
;
(3)
(4)
则称
为
的Moore-Penrose 逆,记为
例1由Moore-Penrose逆的定义不难验证
(1)若
则
(2)若
其中
(3)若
是可逆矩阵,则
(4)若
定理1 对于任意矩阵
其Moore-Penrose逆存在并且唯一。
证明存在性。
有奇异值分解
其中
,
为酉矩阵,
的正奇异值为
容易验证
满足定义2中的四个Penrose方程,所以,
总是存在的。
唯一性。
均满足定义2中的四个Penrose方程,则
所以
是唯一的。
更一般的,为了不同的目的,人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方
程的广义逆。
定义3设矩阵
若矩阵
满足Penrose方程中的(
),(
),
,(
)等方程,则称
的
-逆,记为
由定义3与定义1可知,
因为对于任意
都
有
-逆,所以利用定理1可知
但是除了
是唯一确定的之外,其余各种
-逆矩阵都不是唯一确定的,因此将
-逆全体记为
如果按照满足Penrose方程个数进行分类,
-逆矩阵共有
种。
但应用较多的是以下5种:
最为基本,
最为重要。
称为自反广义逆,
称为最小二乘广义逆,
为极小范数广义逆。
例2设矩阵
为可逆矩阵,且
,则容易验证
例3设矩阵
,此时
为可逆矩阵,容易验证
除了以上
广义逆矩阵之外,还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。
1967年,Erdelyi给出如下群逆的概念。
定义4设矩阵
,若矩阵
满足
(3)
的群逆,记为
从定义4可以看出,群逆
是一个特殊的
,虽然
总是存在的,但是这种群逆未必存在。
为了介绍Drazin逆的定义,下面先给出方阵指标的概念。
定义5设矩阵
称满足
的最小非负整数
的指标,记作
若矩阵
是非奇异的,则
是奇异的,则
1958年,Drazin给出如下Drazin逆的概念。
定义6设矩阵
其指标为
,若存在矩阵
(2)
的Drazin逆,记作
易见,若矩阵
的指标为
的Drazin逆就是群逆。
6.2
-逆的性质与计算
由于
-逆是最基本、最重要的一种广义逆,本节将给出
-逆的基本性质与计算方法。
6.2.1
-逆的存在性
定理1设矩阵
其秩为
的等价标准形为
分别为
阶和
阶可逆矩阵,则矩阵
的所有
-逆的集合为
证明 设矩阵
的任意一个
-逆,则其满足
于是,
因为
阶可逆矩阵,上式等价于
令
,则由上式可以推出
而
是任意的,故
即
因此,此定理结论成立。
由此定理的证明过程可知矩阵
-逆一定存在,但由于
的任意性得矩阵
-逆不唯一。
6.2.2
-逆的基本性质
关于
-逆的基本性质,有如下定理。
定理2设矩阵
,则
(2)若矩阵
,并且
-逆是唯一的;
(4)设
阶可逆矩阵,则
(5)
(6)
与
都是幂等矩阵,且
证明利用6.1节定义3,可以直接验证此定理的(1)-(4)成立。
(5)由于
所以结论成立。
(6)由于
所以,
都是幂等矩阵。
又由于
同理
因此,结论成立。
6.2.3
-逆的计算
定理1给出利用等价标准形求
-逆的方法。
例1已知矩阵
求
,并具体给出一个
解答由于
现令
所以矩阵
利用定理1可得
均为零矩阵时,得到一个最简单的
-逆如下:
6.3Moore-Penrose广义逆的性质与计算
由于Moore-Penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用,因此本节将介绍Moore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。
6.3.1Moore-Penrose广义逆的计算
利用6.1节定理1可知,Moore-Penrose广义逆总是存在的,并且给出了利
用奇异值分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。
下面给出利用满秩分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。
定理1设矩阵
其满秩分解为
为列满秩矩阵,
为行满秩矩阵,则
证明因为
所以
皆为可逆矩阵。
不难验证
满足Penrose的四个方程,所以
推论1设矩阵
(3)若
有满秩分解
为行满秩矩阵,则
例1已知矩阵
利用矩阵奇异值分解求矩阵
的Moore-Penrose逆
解答由于
的特征值为
因此,
特征值
、
对应的单位特征向量分别为
则
的奇异值分解为
于是
例2设矩阵
利用满秩分解求矩阵
的Moore-Penrose逆
解答 因为矩阵
的满秩分解为
并且
故
6.3.2Moore-Penrose广义逆的基本性质
利用6.1节定理1可知,Moore-Penrose广义逆是唯一的,因此,它具有与通常逆矩阵相似的性质。
下面给出Moore-Penrose广义逆的一些基本性质,其证明可以利用Moore-Penrose广义逆的定义或定理1直接推出。
定理2设矩阵
(4)
(7)若
均为酉矩阵,则
(8)若
,若
尽管
有一些相近的性质,但它毕竟是广义逆矩阵,因此逆矩阵的一些性质对
并不成立。
例3举例说明对Moore-Penrose广义逆矩阵
下列结论未必正确。
为正整数;
为可逆矩阵,
解答
(1)设
,因此
所以利用推论1的
(1)可知
,所以利用推论1的(2)可知
可见
(2)取
利用推论1可得
于是,由推论1的(3)可得
因此,
由此可见
(3)取
,所以
,利用推论1的(2)可得
而
于是
由此可见
6.4广义逆矩阵与线性方程组
广义逆矩阵与线性方程组有着极为密切的关系。
本节将分别介绍
-逆及Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用。
6.4.1
-逆在线性方程组求解问题中的应用
定理1线性方程组(6-1)相容的充分必要条件是
且在线性方程组相容的情况下,其通解为
, (6-3)
为任意向量。
证明必要性。
设线性方程组(6-1)有解,且
为其解,则
充分性。
满足等式(6-1),因此线性方程组(6-1)相容。
下面首先证明在线性方程组(6-1)相容的情况下,等式(6-3)是其解。
由于线性方程组(6-1)是相容的,所以存在
使得
其次证明,对于线性方程组(6-1)的任意一解
,都存在
使得解
表示成(6-3)的形式。
现取
所以此定理的结论成立。
例1利用矩阵
-逆判断线性方程组
是否相容,如果相容,求其通解,其中
则系数矩阵
由6.3节定理1得系数矩阵
的一个
-逆为
容易验证等式
成立,所以利用定理1可知此线性方程组是相容的;
并且其通解为
为任意常数。
6.4.2Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用
利用
-逆可以解决判定线性方程组(6-1)是否相容及在线性方程组相容情况下给出通解的问题。
由于Moore-Penrose逆是一种特殊的
-逆,所以相应可得下述定理。
定理2线性方程组(6-1)相容的充分必要条件是
且在线性方程组相容的情况下,其通解为
, (6-4)
由等式(6-4)可知,如果线性方程组(6-1)相容,则当且仅当
即
时,其解是唯一的。
在实际问题中,常需要求出线性方程组的无穷多个解中范数最小的解,即给出如下定义。
定义1设线性方程组(6-1)有无穷多个解,则称无穷多个解中范数最小的解
为线性方程组(6-1)的极小范数解(本节所涉及的范数均指2-范数)。
定理3相容线性方程组(6-1)的唯一极小范数解为
证明对于等式(6-4)给
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