高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第1讲 函数及其表示Word格式.docx
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,n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
f(x)>0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”) 精彩PPT展示
(1)f(x)=
与g(x)=x是同一个函数.(×
)
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(×
(3)函数是特殊的映射.(√)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(×
2.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1D.f(x)=-x
解析 将f(2x)表示出来,看与2f(x)是否相等.
对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);
对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x);
对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x);
对于D,f(2x)=-2x=2f(x),
故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C.
答案 C
3.(xx·
山东卷)函数f(x)=
的定义域为( )
A.(0,2)B.(0,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
解析 由题意知
解得x>2,故选C.
4.设f(x)=
g(x)=
则f(g(π))的值为( )
A.1B.0
C.-1D.π
解析 g(π)=0,f(g(π))=f(0)=0.
答案 B
5.已知f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则a=________.
解析 令2x+1=a,则x=
,
则f(2x+1)=3x-4可化为f(a)=
-4,
因为f(a)=4,所以
-4=4,解得a=
.
答案
考点一 求函数的定义域
例1
(1)(xx·
杭州模拟)函数f(x)=
+
A.(-3,0]B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]
(2)函数f(x)=
的定义域是( )
A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)
解析
(1)由题意知
解得-3<x≤0,所以函数f(x)的定义域为(-3,0],故选A.
(2)要使函数f(x)=
有意义,需满足x+1>0且x-1≠0,得x>-1且x≠1,故选C.
答案
(1)A
(2)C
规律方法
(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,在求解时,要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组),这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域,函数的定义域要写成集合或者区间的形式.
(2)对于实际问题中求得的函数解析式,在确定定义域时,除了要考虑函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
【训练1】
(1)函数f(x)=
A.(-∞,2)B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)
(2)函数f(x)=ln
的定义域为________.
解得
所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(2)由条件知
⇒
⇒x∈(0,1].
答案
(1)C
(2)(0,1]
考点二 求函数的解析式
例2
(1)如果f
=
,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( )
A.
B.
C.
D.
-1
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.
(3)已知f(x)满足2f(x)+f
=3x,则f(x)=________.
解析
(1)令t=
,得x=
,∴f(t)=
∴f(x)=
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+5a+b,
即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,
∴
∴f(x)=2x+7.
(3)∵2f(x)+f
=3x,①
把①中的x换成
,得
2f
+f(x)=
.②
①×
2-②得3f(x)=6x-
∴f(x)=2x-
(x≠0).
答案
(1)B
(2)2x+7 (3)2x-
(x≠0)
规律方法 求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法,若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(2)换元法,已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)配凑法,由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;
(4)方程法,已知关于f(x)与f
或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
【训练2】
(1)已知f
=x2+
,则f(x)=________.
(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f
·
-1,则f(x)=________.
解析
(1)∵f
2-2,
且x+
≥2或x+
≤-2,
∴f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2).
(2)在f(x)=2f
-1中,用
代替x,
得f
=2f(x)
-1,
将f
-1代入f(x)=2f
-1中,
可求得f(x)=
答案
(1)x2-2(x≥2或x≤-2)
(2)
考点三 分段函数
例3
(1)(xx·
山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(3)的值为( )
A.1B.2
C.-2D.-3
(2)(xx·
新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)=
则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.
解析
(1)f(3)=f
(2)-f
(1)=f
(1)-f(0)-f
(1)=-f(0)=-log28=-3.
(2)当x<1时,ex-1≤2成立,解得x≤1+ln2,
∴x<
1.
当x≥1时,
≤2,解得x≤8,∴1≤x≤8.
综上可知x∈(-∞,8].
答案
(1)D
(2)(-∞,8]
规律方法
(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
【训练3】(xx·
浙江卷)设函数f(x)=
若f(f(a))=2,则a=________.
解析 当a>0时,f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,解得a=
当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,
f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解.
微型专题 抽象函数的定义域问题
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但从提升能力方面考虑,还应有所涉及.
例4】若函数y=f(x)的定义域是[1,2015],则函数g(x)=
A.[0,2014]B.[0,1)∪(1,2014]
C.(1,2015]D.[-1,1)∪(1,2014]
点拨 先利用换元法求出函数f(x+1)的定义域,则函数g(x)的定义域为f(x+1)的定义域与不等式x-1≠0的解集的交集.
解析 要使函数f(x+1)有意义,则有1≤x+1≤2015,解得0≤x≤2014,故函数f(x+1)的定义域为[0,2014].
所以使函数g(x)有意义的条件是
解得0≤x<1或1<x≤2014.
故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2014],故选B.
点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围,即f(x)与f(g(x))的定义域都是自变量x的取值范围,常见有如下两种类型:
(1)已知函数f(x)的定义域为D,则函数f(g(x))的定义域就是不等式g(x)∈D的解集;
(2)已知函数f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域就是函数y=g(x)(x∈D)的值域.
[思想方法]
1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:
一是定义域是否相同;
二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法:
待定系数法、换元法、配凑法、方程法.
[易错防范]
1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法,同时要注意函数的定义域,如已知f(
)=x+1,求函数f(x)的解析式时,通过换元的方法可得f(x)=x2+1,这个函数的定义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞).
2.求分段函数应注意的问题:
在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;
分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(xx·
广州调研)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
解析 可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.
2.(xx·
郑州模拟)函数f(x)=
+lg(3x+1)的定义域是( )
解析 由
得
所以定义域为
答案 A
3.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )
A.2x+1B.2x-1
C.2x-3D.2x+7
解析 ∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,
∴g(x)=2x-1.
4.(xx·
合肥检测)已知函数f(x)=
则f(2014)=( )
A.2014B.
C.2
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