面对高考初高中数学衔接教材Word文件下载.doc
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(3);
(4).
解:
(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以,有
x2-3x+2=(x-1)(x-2).
-ay
-by
x
图1.1-4
-2
6
1
图1.1-3
-1
图1.1-2
图1.1-1
说明:
今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得
x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图1.1-4,得
y
图1.1-5
=
(4)=xy+(x-y)-1
=(x-1)(y+1)(如图1.1-5所示).
习题一
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)__________________________________________________。
(2)__________________________________________________。
(3)__________________________________________________。
(4)__________________________________________________。
(5)__________________________________________________。
(6)__________________________________________________。
(7)__________________________________________________。
(8)__________________________________________________。
(9)__________________________________________________。
(10)__________________________________________________。
2、
3、若则,。
二、选择题:
(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、在多项式
(1)
(2)(3)(4)
(5)中,有相同因式的是()
A、只有
(1)
(2) B、只有(3)(4)
C、只有(3)(5) D、
(1)和
(2);
(3)和(4);
(3)和(5)
2、分解因式得()
A、B、C、D、
3、分解因式得()
A、B、
C、D、
4、若多项式可分解为,则、的值是()
A、,B、,C、,D、,
5、若其中、为整数,则的值为()
A、或B、C、D、或
三、把下列各式分解因式
1、2、
3、4、
第二讲一元二次方程
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
,,
则有
;
.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·
x2=.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知
x1+x2=-p,x1·
x2=q,
即p=-(x1+x2),q=x1·
x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.因此有
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.
例1已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
分析:
由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k的值.
解法一:
∵2是方程的一个根,
∴5×
22+k×
2-6=0,
∴k=-7.
所以,方程就为5x2-7x-6=0,解得x1=2,x2=-.
所以,方程的另一个根为-,k的值为-7.
解法二:
设方程的另一个根为x1,则2x1=-,∴x1=-.
由(-)+2=-,得k=-7.
例2已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程,从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.
解:
设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得
x1+x2=-2(m-2),x1·
x2=m2+4.
∵x12+x22-x1·
x2=21,
∴(x1+x2)2-3x1·
即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,
化简,得m2-16m-17=0,
解得m=-1,或m=17.
当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ=302-4×
1×
293<0,不合题意,舍去.
综上,m=17.
说明:
(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.
例3已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.
设这两个数分别是x,y,
则x+y=4,①
xy=-12.②
由①,得y=4-x,
代入②,得
x(4-x)=-12,
即x2-4x-12=0,
∴x1=-2,x2=6.
∴或
因此,这两个数是-2和6.
由韦达定理可知,这两个数是方程
x2-4x-12=0
的两个根.
解这个方程,得
x1=-2,x2=6.
所以,这两个数是-2和6.
说明:
从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.
习题二
A组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是()
(A)-3(B)3(C)-2(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为;
④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()
(A)0(B)1(C)-1(D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k=.
(2)方程2x2-x-4=0的两根为α,β,则α2+β2=.
(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是
.
(4)方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则|x1-x2|=.
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数.
B组
若关于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为()
(A)1,或-1(B)1(C)-1(D)0
(1)若m,n是方程x2+2005x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn的值等于.
(2)如果a,b是方程x2+x-1=0的两个实数根,那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是.
3.已知关于x的方程x2-kx-2=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求实数k的取值范围.
C组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于()
(A)(B)3(C)6(D)9
(2)若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值为()
(A)6
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