高中数学北师大版选修23同步导学案311 回归分析 12 相关系数 13 可线性化的回归分析文档格式.docx

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3．相关性的分类

（1）当r>

0时，两个变量正相关；

（2）当r<

0时，两个变量负相关；

（3）当r＝0时，两个变量线性不相关．

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．（　　）

（2）两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．（　　）

（3）若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×

　（3）√

教材整理3　可线性化的回归分析

阅读教材P79～P82，完成下列问题．

1．非线性回归分析

对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．

2．非线性回归方程

曲线

方程

曲线图形

变换

公式

变换后的

线性函数

y＝axb

（a＝1，b＞0）（a＝1，b＜0）

c＝lna

v＝lnx

u＝lny

u＝c＋bv

y＝aebx

（a＞0，b＞0）（a＞0，b＜0）

u＝c＋bx

y＝ae

v＝

y＝a＋

blnx

（b＞0）　　（b＜0）

u＝y

u＝a＋bv

下列数据x，y符合哪一种函数模型（　　）

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

2.69

3.38

3.6

3.8

4.08

4.2

4.3

A.y＝2＋

x　　　　　B．y＝2ex

C．y＝2e

D．y＝2＋lnx

【解析】　分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.

【答案】　D

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

[小组合作型]

变量间的相关关系及判定

（1）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10），得散点图311①，对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图②.由这两个散点图可以判断（　　）

图311

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

（2）（2016·

上饶高二检测）两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：

①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；

②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；

③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（　　）

A．①②　　B．②③

C．①③D．①②③

（3）有五组变量：

①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；

②平均日学习时间和平均学习成绩；

③某人每日吸烟量和其身体健康情况；

④正方形的边长和面积；

⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是

（　　）

A．①③B．②④

C．②⑤D．④⑤

【精彩点拨】　可借助于线性相关概念及性质作出判断．

【自主解答】　

（1）由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.

（2）根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.

（3）其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.

【答案】　

（1）C　

（2）C　（3）C

1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．

2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>

0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．

[再练一题]

1．下列两变量中具有相关关系的是（　　）

【62690052】

A．正方体的体积与边长

B．人的身高与体重

C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间

D．球的半径与体积

【解析】　选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；

选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；

选项D中球的体积是

π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．

【答案】　B

求线性回归方程

　（2016·

九江高二检测）某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温x（℃）

17

13

月销售量y（件）

24

33

40

55

（1）算出线性回归方程y＝bx＋a.（a，b精确到0.1）

（2）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．

【精彩点拨】　

（1）可利用公式求解；

（2）把月平均气温代入回归方程求解．

【自主解答】　

（1）由散点图易判断y与x具有线性相关关系．

＝（17＋13＋8＋2）÷

4＝10，

＝（24＋33＋40＋55）÷

4＝38，

xiyi＝17×

24＋13×

33＋8×

40＋2×

55＝1267，

＝526，

≈－2.01，

a＝

≈38－（－2.01）×

10＝58.1，

所以线性回归方程为y＝－2.0x＋58.1.

（2）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.0x＋58.1＝－2.0×

6＋58.1≈46（件）．

1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．

2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.

3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．

4．回归直线必过样本点的中心点．

2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

12

（1）请画出上表数据的散点图（要求：

点要描粗）；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

【解】　

（1）如图：

（2）

xiyi＝6×

2＋8×

3＋10×

5＋12×

6＝158，

＝9，

＝4，

＝62＋82＋102＋122＝344，

＝0.7，

＝4－0.7×

9＝－2.3，

故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.

（3）由

（2）中线性回归方程得当x＝9时，y＝0.7×

9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.

[探究共研型]

可线性化的回归分析

探究1　如何解答非线性回归问题？

【提示】　非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：

探究2　已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？

5.99

12.01

①y＝3×

2x－1;

②y＝log2x；

③y＝4x;

④y＝x2.

【提示】　观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×

2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.

　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x（cm）

60

70

80

90

100

110

体重y（kg）

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

120

130

140

150

160

170

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

（1）试建立y与x之间的回归方程；

（2）如果一名在校男生身高为168cm，预测他的体重约为多少？

【精彩点拨】　先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．

【自主解答】　

（1）根据表中的数据画出散点图，如下：

由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，列表如下：

z

1.81

2.07

2.30

2.50

2.71

2.86

3.04

3.29

3.44

3.66

3.86

4.01

作出散点图，如下：

由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为

＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.

（2）由

（1）知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×

168≈57.57，所以在校男生身高为168cm，预测他的体重约为57.57kg.

两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周围.

3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：

0.25

0.5

16

试建立y与x之间的回归方程．

【解】　作出变量y与x之间的散点图如图所示．

由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．

设y＝

，令t＝

，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：

t