聊城大学实变函数期末试题资料Word下载.docx
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(C)存在
中点列
,使
,则
(D)内点必是聚点
6.设
在
上
可积,则下面不成立的是(C)
上可测(B)
上a.e.有限
上有界(D)
可积
7.设
是一列可测集,
,则有(B)。
(B)
(D)以上都不对
9、设
,则(B)
10、设
上有理点全体,则下列各式不成立的是(D)
(C)
=[0,1](D)
11、下列说法不正确的是(C)
(A)若
(B)有限个或可数个零测度集之和集仍
为零测度集(C)可测集的任何子集都可测(D)凡开集、闭集皆可测
12、设
,且
,则有(A)
13、设f(x)是
上绝对连续函数,则下面不成立的是(B)
上的一致连续函数(B)
上处处可导
上L可积(D)
是有界变差函数
14.设
是两集合,则
=(C)
(A)
16.下列断言(B)是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;
(B)任意个闭集的交是闭集;
(C)任意个闭集的并是闭集;
(D)以上都不对;
17.下列断言中(C)是错误的。
(A)零测集是可测集;
(B)可数个零测集的并是零测集;
(C)任意个零测集的并是零测集;
(D)零测集的任意子集是可测集;
18.若
,则下列断言(A)是正确的
可积;
(B)
(D)
19、设
是闭区间
中的无理点集,则(A)
是不可测集
是闭集
二、填空题
1、
2、设
上有理点全体,则
=
.
3、设
中点集,如果对任一点集
都有
,则称
可测的.
4、
可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
5、设
(0,2)
6、设
若
则
是闭集;
若
是开集;
是完备集.
7、设
是一列可测集,则
8、设集合
为Cantor集,则
,
0,
=
。
10、果洛夫定理:
设
上一列
收敛于一个
有限的函数
的可测函数,则对任意
存在子集
上一致收敛且
11、
上可测,则
上可积的充要条件是|
|在
上可积.
c,
13、设
14、鲁津定理:
有限的可测函数,则对任意
,存在闭子集
,使得
上是连续函数,且
15、设
为
上的有限函数,如果对任意
,使对
中互不相交的任意有限个开区间
只要
,就有
则称
上的绝对连续函数。
16、
因为存在两个集合之间的一一映射为
17、设
中函数
的图形上的点所组成的集合,则
18、设
中的全体无理数集,则
则称
的聚点.
20设
上几乎处处有限的可测函数列,
上几乎处处有限的可测函数,若
有
则称
上依测度收敛于
三、判断
1、设
,若E是稠密集,则
是无处稠密集。
F
2、若
一定是可数集.F
3、若
是可测函数,则
必是可测函数。
F
4.设
在可测集
上可积分,若
5、A为可数集,B为至多可数集,则A
B是可数集.T
6、若
7、若
必是可测函数F
8.设
9、任意多个开集之交集仍为开集F
10、若
一定是可数集.F
收敛的函数列必依测度收敛。
12、由于
,故不存在使
之间
对应的映射。
13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
T
14、若
可测,
且
.F
为点集,
的外点.F
16、点集
为闭集.F
17、任意多个闭集的并集是闭集.F
四、解答题
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
解:
上不是
可积的,因为
仅在
处连续,即不连续点为正测度集,因为
是有界可测函数,
上是
可积的
因为
与
相等,进一步,
考生答题不得超过此线
2、求
,则易知当
时,
又因
,(
),所以当
从而使得
但是不等式右边的函数,在
可积的,故有
3、求极限
记
在[0,1]上连续,因而在[0,1]上(R)可积和(L)可积.
又
上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得
处连续,
即不连续点为正测度集
是有界可测函数,所以
相等,进一步,
5、求极限
又
,但是不等式右边的函数,在
故有
求出集列
的上限集和下限集
证明:
,则存在N,使
,因此
,即
,所以
属于下标比N大的一切偶指标集,从而
属于无限多
,得
又显然
得分
阅卷人
若有
,则存在N,使任意
,有
,因此若
,此不可能,所以
五、证明题
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
复查人
2.设
使
,则E是可测集。
对任何正整数
,由条件存在开集
令
是可测集
对一切正整数
成立,因而
即
是一零测度集,所以也可测.
由
知,
可测。
3.试用Fatou引理证明Levi定理.
为可测集
上的一列非负可测函数,且在
上有
,令
为单调可测函数列知,
可测,且
于是
从而
…(*)
另一方面,因
上的一列非负可测函数,由Fatou引理知
…(**)
由(*)、(**)两式即证
4、试证
中有理数全体
令
显然
所以
是可测集
的非负可积函数,
的可测函数,且
也是
上的可积函数。
证明:
的非负可积函数
上的可积函数.
同理,
7.设
上可积,则对任何
,必存在
上的连续函数
由于
有限,故
由积分的绝对连续性,对任何
,在
上利用鲁津定理,存在闭集
和在
使
(1)
(2)
8、设
为可测集,
.根据题意,若有
证明
是可测集.
为可测集,于是对于
都有
故
得到
可测.从而
可测.
9.证明:
上的实值连续函数,则对于任意常数
是闭集。
P51
上可积,
.P132
有限的函数,若对任意
上连续,且
,证明:
上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理)P94
4.设
为E上可积函数列,
.于E,且
,k为常数,则
在E上可积.P133
5.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
收敛于
.P94
6、设f(x)是
上的实值连续函数,则对任意常数c,
是一开集.P51
上积分确定,且
于
也积分确定,且
P108
8、设在
而
成立,
则有
P95
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