初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析..docx

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初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：

一）已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

P

A

A

m

m

B

B

B

P

（2）点A、B在直线同侧：

A

A

B m

m

A'

A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

A

m

A

m

P' P

n Q' Q n

B

B

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A

m

A

mP

B

B n

Q

nB'

（3）两个点都在内侧：

A

m A' m

A

P

B B

n Q n

B'

n

（4）台球两次碰壁模型 A' A

变式一：

已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、

D

E



B m分别上求点D、E点，

m

B'

使得围成的四边形ADEB周长最短.

n

A

B

m

填空：

最短周长=

变式二：

已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

A

n n

A'

A

Q

m

P m

二）一个动点，一个定点：

A"

（一）动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、两点在直线两侧：

n B n

m P m

A A

2、两点在直线同侧：

B

A

P

n

n

A m

m

A'

（二）动点在圆上运动

点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、点与圆在直线两侧：

O

O

B'

B

P

P'

m 2、点与圆在直 m

A 线同 A O

O

侧：

B A

A P m

m A'

（三）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

（原理用平移知识解）

（1）点A、B在直线m两侧：

P

Q

A C

A

m

m

P Q

B B

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

E

（2）点A、B在直线m同侧：

B

P

Q

B

A A

m m

P Q

B'

二、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）基本图形解析：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

A

B

（1）点A、B在直线m同侧：

A

B

m

m P P'

解析：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：

A

A B'

m P' P m

B B