届一轮复习人教B版文 第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案Word文件下载.docx
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(x≠0).
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)小于90°
的角是锐角.( )
(2)三角形的内角必是第一、第二象限角.( )
(3)不相等的角终边一定不相同.( )
(4)若点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第二象限.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.已知角α的终边过点P(-1,2),则sinα=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:
选B 因为|OP|=
(O为坐标原点),所以sinα=
.
3.若角θ同时满足sinθ<
0且tanθ<
0,则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选D 由sinθ<
0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tanθ<
0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
4.已知角α的终边过点P(8m,3),且cosα=-
,则m的值为( )
A.-
B.
D.
选A 由题意得
=-
,且m<
0.
解得m=-
5.已知扇形的圆心角为60°
,其弧长为2π,则此扇形的面积为________.
设此扇形的半径为r,由题意得
r=2π,所以r=6,
所以此扇形的面积为
×
2π×
6=6π.
6π
6.在0到2π范围内,与角-
终边相同的角是________.
与角-
终边相同的角是2kπ+
,k∈,令k=1,可得与角-
终边相同的角是
[考什么·
怎么考]
高考对象限角及终边相同的角直接考查较少,多渗透到三角函数求值及性质中,属于基础题.
1.给出下列四个命题:
①-
是第二象限角;
②
是第三象限角;
③-400°
是第四象限角;
④-315°
是第一象限角.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
选C -
是第三象限角,故①错误;
=π+
,从而
是第三象限角,故②正确;
-400°
=-360°
-40°
,从而-400°
是第四象限角,故③正确;
-315°
+45°
,从而-315°
是第一象限角,故④正确,故选C.
2.在-720°
~0°
范围内所有与45°
终边相同的角为________.
所有与45°
终边相同的角可表示为:
β=45°
+k×
360°
(k∈),
则令-720°
≤45°
<
0°
得-765°
≤k×
-45°
解得-
≤k<
-
从而k=-2或k=-1,
代入得β=-675°
或β=-315°
-675°
或-315°
3.终边在直线y=
x上的角的集合为__________________.
在坐标系中画出直线y=
x,可以发现它与x轴正半轴的夹角是
,终边在直线y=
x上的角的集合为
4.若角α是第二象限角,则
是第________象限角.
∵α是第二象限角,∴
+2kπ<
α<
π+2kπ,k∈,
∴
+kπ<
+kπ,k∈.当k为偶数时,
是第一象限角;
当k为奇数时,
是第三象限角.
一或三
[怎样快解·
准解]
1.象限角的两种判断方法
(1)图象法:
在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法:
先将已知角化为k·
+α(0°
≤α<
,k∈)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
2.求
或nθ(n∈N*)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k,且k∈)表示.
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论,得到
或nθ(n∈N*)所在的象限.
[注意]
(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°
的整数倍.
(2)终边在一条直线上的角之间相差180°
的整数倍;
终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°
高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查,主要是理解弧度制下的公式的应用,属于基础题.
1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4
选C 设扇形的半径为r,弧长为l,
则
解得
或
从而α=
=4或α=
=1.
2.已知扇形弧长为20cm,圆心角为100°
,则该扇形的面积为________cm2.
由弧长公式l=|α|r,得
r=
,∴S扇形=
20×
3.如果一个扇形的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的
倍,则该弧所对的圆心角是原来的________倍.
设圆的半径为r,弧长为l,则其弧度数为
将半径变为原来的一半,弧长变为原来的
倍,
则弧度数变为
=3·
,
即弧度数变为原来的3倍.
3
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式,在使用公式时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量,然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解,或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解.
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.,常见的命题角度有:
(1)利用三角函数定义求值;
(2)三角函数值符号的判定;
(3)三角函数线的应用.
[题点全练]
角度
(一) 利用三角函数定义求值
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
B.-
C.
选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点,则cosθ=
当t>
0时,cosθ=
;
当t<
0时,cosθ=-
因此cos2θ=2cos2θ-1=
-1=-
2.已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-
,则
+
=________.
∵角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-
∴cosα=
,解得x=
或x=-
(舍去),
∴P
∴sinα=-
,∴tanα=
[题型技法] 利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
角度
(二) 三角函数值符号的判定
3.(2014·
全国卷Ⅰ)若tanα>
0,则( )
A.sinα>
0B.cosα>
C.sin2α>
0D.cos2α>
选C 由tanα>
0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sinα与cosα同号,故sin2α=2sinacosα>
0,故选C.
4.若sinαtanα<
0,且
0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
选C 由sinαtanα<
0可知sinα,tanα异号,
则α为第二象限角或第三象限角.
由
0可知cosα,tanα异号,
则α为第三象限角或第四象限角.
综上可知,α为第三象限角.
[题型技法] 三角函数值符号及角的位置判断
已知一角的三角函数值(sinα,cosα,tanα)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况.
角度(三) 三角函数线的应用
5.函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
∵3-4sin2x>
0,∴sin2x<
∴-
sinx<
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴x∈
(k∈).
(k∈)
[题型技法] 利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.
[题“根”探求]
1.思维趋向要明确
(1)看到角α终边上的点或终边所在的直线想到三角函数定义的应用.
(2)看到角α所在的象限想到三角函数值符号的判断.
(3)看到三角式比较大小、解三角不等式(方程)想到三角函数线的应用.
2.二级结论要谨记
(1)三角函数值符号的结论:
一全正、二正弦,三正切、四余弦.
(2)当α∈
时,①sinα<
tanα;
②sinα+cosα>
1.
[冲关演练]
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为
,则cosα的值为( )
A.
选D 因为点A的纵坐标yA=
,且点A在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点的横坐标xA=-
,由三角函数的定义可得cosα=-
2.已知点P(cosα,tanα)在第三象限,则角α的终边在( )
选B 由题意得
⇒
所以角α的终边在第二象限.
3.函数y=
的定义域为________.
因为sinx≥
,作直线y=
交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为
,k∈
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A.2 B.4
C.6D.8
选C 设扇形的半径为r,弧
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