4因式分解.docx

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4因式分解

15.4因式分解

15．4．1提公因式法

教学目标：

一知识与技能

1．因式公解、公因式．

2．用提公因式法分解因式．

二过程与方法

1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．

2．了解公因式概念和提取公因式的方法．

3．会用提取公因式法分解因式．

三情感、态度与价值观

在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

教学重点：

会用提公因式法分解因式．

教学难点：

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

教学过程

一．提出问题，创设情境

请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．

（1）20×（-3）2+60×（-3）；

（2）1012-992；（3）572+2×57×43+432.

（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）

解：

（1）20×（-3）2+60×（-3）=20×9+60×-3=180-180=0

或20×（-3）2+60×（-3）=20×（-3）2+20×3×（-3）

=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．

（2）1012-992=（101+99）（101-99）=200×2=400

（3）572+2×57×43+432=（57+43）2=1002=10000．

在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．

二．导入新课

1．分析讨论，探究新知．

把下列多项式写成整式的乘积的形式

（1）x2+x=_________

（2）x2-1=_________

（3）am+bm+cm=__________

根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

（1）x2+x=x（x+1）

（2）x2-1=（x+1）（x-1）

（3）am+bm+cm=m（a+b+c）

像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．

再观察上面的第

（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．

发现：

（1）中各项都有一个公共的因式x，

（2）中各项都有一个公共因式m，那是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？

因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．

2．例题教学，运用新知．

例1把8a3b2-12ab3c分解因式．

（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）

分析：

先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b．其中a的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab2为要提出的公因式．提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了．

解：

8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）．

总结：

提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：

括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．

例2把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．

分析：

（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．

解：

2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．

三．随堂练习

课本P167练习1、2、3．

四．课堂小结

今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．

各项有“公”先提“公”，

首项有负常提负．

某项提出莫漏1．

括号里面分到“底”．

五．课后作业

课本P1170习题15．4─1、4．

（1），６题．

15.4.2公式法

（一）

教学目标

一知识与技能

运用平方差公式分解因式．

二过程与方法

1．能说出平方差公式的特点．

2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．

3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：

把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

三情感、态度与价值观

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重点：

应用平方差公式分解因式．

教学难点：

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教学过程

一．提出问题，创设情境

让学生思考下列问题．

问题1：

你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：

运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：

你能将a2-b2分解因式吗？

你是如何思考的？

解：

1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3.要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

二．导入新课

1.观察平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）

结论：

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误]

2.填空：

（1）4a2=（）2；

（2）b2=（）2；

（3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2；

（5）2x4=（）2；（6）5x4y2=（）2．

3.例题解析：

例3分解因式：

（1）4x2-9;

（2）（x+p）2-（x+q）2

可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

解：

（1）

例4分解因式：

（1）x4-y4;

（2）a3b-ab

分析：

（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：

（1）x4-y4=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

学生解题中可能发生如下错误：

（1）系数变形时计算错误；

（2）结果不化简；

（3）化简时去括号发生符号错误．

最后教师提出：

（1）多项式分解因式的结果要化简：

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．

三．随堂练习

课本P168练习1、2．

四．课堂小结

1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．

2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．

五．课后作业

1．课本P170习题15．4─2、7题．

15.4.2公式法

（二）

教学目标：

一知识与技能

用完全平方公式分解因式

二过程与方法

1．理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

三情感、态度与价值观

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．

教学重点：

用完全平方公式分解因式．

教学难点：

灵活应用公式分解因式．

教学过程

一．提出问题，创设情境

问题1：

根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？

能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：

把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2；

（2）a2-2ab+b2

将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

用语言叙述：

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

二．导入新课

1.下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+b2

（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25

（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．

结果：

（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2

（3）4a2+2ab+b2=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2

（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2、

（2）、（4）、（5）都不是完全平方式．

方法总结：

分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

2.例题解析

例5分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．

分析：

在

（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即

解：

（1）16x2+24x+9

=（4x）2+2·4x·3+32

=（4x+3）2．

（2）分析：

在

（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：

－x2+4x