组合数学课后答案.docx
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组合数学课后答案
作业习题答案
习题二
2.1证明:
在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。
证明:
假设没有人谁都不认识:
那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识:
那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。
2.3证明:
平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明:
方法一:
有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:
(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。
由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明:
存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
方法二:
对于平面上的任意整数坐标的点而言,其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况,即:
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的,那么这两点的连线中点也必为整数。
2.4一次选秀活动,每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”,至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果?
证明:
根据推论2.2.1,若将3*(100-1)+1=298个人得到3种结果,必有100人得到相同结果。
2.9将一个矩形分成(m+1)行列的网格每个格子涂1种颜色,有m种颜色可以选择,证明:
无论怎么涂色,其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。
证明:
(1)对每一列而言,有(m+1)行,m种颜色,有鸽巢原理,则必有两个单元格颜色相同。
(2)每列中两个单元格的不同位置组合有种,这样一列中两个同色单元格的位置组合共有种情况
(3)现在有列,根据鸽巢原理,必有两列相同。
证明结论成立。
2.11证明:
从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数,在所选出的数中一定存在2个数,它们之间最多差4。
证明:
将S划分为{1,3,5},{7,9,11}……,{595,597,599}共100组,由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组,即其差最多为4.
2.12证明:
从1~200中任意选取70个数,总有两个数的差是4,5或9。
设从1~200中任意选取的70个数构成一组,即
第一组:
;
第二组:
;
第三组:
;
显然,这三组数均在1~209之间,且共有3*70=210个数,根据鸽巢原理一定有两个数相等,又因为任取的这70个数均不相同,所以这2个相等的数一定来自不同组,根据不同组的分布讨论如下:
1)如果这两个数分别来自第一组和第二组,则有;
2)如果这两个数分别来自第一组和第三组,则有;
3)如果这两个数分别来自第二组和第三组,则有;
得证。
习题三
3.8确定多重集的11-排列数?
3.9求方程,满足的整数解的个数。
3.10架上有20卷百科全书,从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种?
解:
n=20,r=4,
3.17一局乒乓球比赛中,运动员甲以11:
7战胜运动员乙,若在比赛过程中甲从来没有落后过,求有多少种可能的比分记录?
解:
根据题意,相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过y=x的非降路径数,即为:
3.211)会议室中有2n+1个座位,现摆成3排,要求任意两排的座位都占大多数,求有多少种摆法?
解:
(1)
方法1:
如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里,有种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。
这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n+1-(n+1)=n个座位任意分到3排中,这样的摆法共有种方案,所以符合题意的摆法有:
方法2:
设第一排座位有x1个,第二排座位有x2个,第三排座位有x3个。
x1+x2+x3=2n+1,且x1+x2≥(2n+1)/2,x1+x3≥(2n+1)/2,x2+x3≥(2n+1)/2,即x1+x2≥n+1,x1+x3≥n+1,x2+x3≥n+1,令y1=x1+x2-n-1,y2=x1+x3-n-1,y3=x2+x3-n-1,可知y1+y2+y3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且yi≥0,1≤i≤3。
显然,x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应,有
种。
方法3:
要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里,不允许为空,有种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。
这相当于将n个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中,每排不允许为空,这样的摆法共有种方案,所以符合题意的摆法有:
(2)会议室中有2n个座位,现摆成3排,要求任意两排的座位都占大多数,求有多少种摆法?
解:
(2)
方法1:
如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里,有种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。
这相当于将n个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n-n=n个座位任意分到3排中,这样的摆法共有种方案。
需要注意的是,三排中如果任意两排都是n个座位共有3种情况,这3种情况在中被重复计算了2次,因此需要将重复减去的3次加上。
所以符合题意的摆法有:
方法2:
设第一排座位有x1个,第二排座位有x2个,第三排座位有x3个。
x1+x2+x3=2n,且x1+x2≥n+1,x1+x3≥n+1,x2+x3≥n+1,令y1=x1+x2-n-1,y2=x1+x3-n-1,y3=x2+x3-n-1,可知y1+y2+y3=2(2n)-3n-3=n-3且yi≥0,1≤i≤3。
显然,x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应,有
种。
方法3:
要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里,不允许为空,有种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。
这相当于将n-1个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n-(n-1)=n+1个座位任意分到3排中,每排不允许为空,这样的摆法共有种方案,所以符合题意的摆法有:
3.24n(n≥2)个不同的球分给甲、乙、丙3人,使得甲至少分得两个球,有多少种不同的分法?
解:
3.2524个相同的球分堆,使得每堆的球不少于5,有多少种不同的分堆方法?
方法1:
每堆去掉4个球,剩余球分堆的方法数
其中
习题四
4.3一项对于A,B,C三个频道的收视调查表明,有20%的用户收看A,16%的用户收看B,14%的用户收看C,8%的用户收看A和B,5%的用户收看A和C,4%的用户收看B和C,2%的用户都看。
求不收看A,B,C任何频道的用户百分比?
解:
设性质P1是收看A频道的用户百分比;P2是收看B频道的用户百分比;P3是收看C频道的用户百分比;Ai={x|x∈S∧x具有性质Pi},i=1,2,3。
S是受调查的所有用户的集合。
;
根据定理4.1.1,有
4.4某杂志对100名大学新生的爱好进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,求有多少人只喜欢看电影?
解:
方法1:
设性质P1喜欢看球赛;P2喜欢看戏剧;P3喜欢看电影。
Ai={x|x∈S∧x具有性质Pi},i=1,2,3。
S是100名大学新生的集合。
由题意可得,这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种,
所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有
因此只喜欢看电影的人有
=52-(26+16)+12=22人
方法2:
方法3:
设只喜欢看球赛的人数为x;设只喜欢看电影的人数为y;喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏剧的人数为z,则
解得y=22,所以22人只喜欢看电影。
4.5某人有六位朋友,他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次,跟他们中任二位一起吃过6次晚餐,和任意三位一起吃过4次晚餐,和任意四位一起吃过3次晚餐,任意五位一起吃过2次晚餐,跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐,另外,他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友,问他共在外面吃过几次晚餐?
解:
设n为在外面共吃过晚餐的次数,性质Pi(1≤i≤6)表示他和第i位朋友吃过晚餐,Ai(1≤i≤6)表示他和第i位朋友吃过晚餐的次数。
显然满足对称筛公式,其中
由题可得方程:
解得吃饭次数为
4.13计算棋盘多项式R()。
解:
R()=x*R()+R()=x*(1+3x+x2)+(1+x)*R()
=x3+3x2+x+(1+x)[xR()+R()]
=x3+3x2+x+(1+x)[x(1+x)+(1+4x+2x2)]
=5x3+12x2+7x+1
4.14A,B,C,D,E五种型号的轿车,用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。
要求A型车不能涂成黑色;B型车不能涂成红色和白色;C型车不能涂成白色和绿色;D型车不能涂绿色和蓝色;E型号车不能涂成蓝色,求有多少种涂装方案?
解:
A
B
C
D
E
红
白
蓝
绿
黑
A
B
C
D
E
蓝
绿
白
红
黑
A
B
3.以n结尾的词,在词后加t。
如:
mean—meant,burn—burnt,learn—learntC
2.以d结尾的词,把d变成t。
如:
build—built,lend—lent,send—sent,spend—spentD
wear穿着worewornE
红
cut割cutcut
know知道knewknown
smell发出气味smeltsmelt
hold拿住heldheld
白
give给gavegiven
saw锯sawedsawed/sawn
blow吹blewblown绿
蓝
黑
1.若未规定不同车型必须涂不同颜色,则:
涂装方案
2.若不同车型必须涂不同颜色,则:
禁区的棋盘多项式为:
R()
=R()R()=(1+x)(xR()+R())
=(1+x)(xR()R()+R()R())
=(1+x)(x(1+2x)2+(1+3x+x2)2)
=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5
所以:
N=5!
-r1×4!
+r2×3!
–r3×2!
+r4×1!
-r5×0!
=5!
-8*4!
+22*3!
-25*2!
+11*1!
-1=20
习题五
5.1求如下数列的生成函数。
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
解:
5.3已知数列的生成函数是,求.
5.15知数列{}的指数生成函数是,求。
6.5平面上有n条直线,它们两两相交且沿有三线交于一点,设这n条直线把平面分成个区域,求的递推关系并求解.
解:
设n-1条直线把平面分成个区域,则第n条直
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