2数量积矢量积混合积Word格式.docx

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与位移

的数量积，即

数量积有下列运算规律：

（1）

；

（交换率）

（2）

（结合率）

（3）

（分配率）

例2.1设矢量

的夹角为

求

解：

例2.2设

，

求

+

由

得：

将以上三式相加并代入

所以

下面我们来推导数量积的坐标表示。

设

，根据数量积的运算规律，得

因为

都是单位向量，知

又因为

是互相垂直的，有

，所以

（2.1）

这就是数量积的坐标表示。

再者，前已知

，可见

，那么，当

都不是零向量时，有

，即得两向量夹角余弦的坐标表示：

（2.2）

例2.3已知三点

，求∠

解:

因为

∠

，所以∠

2.2两矢量的矢量积

在力学中，力

对于定点

的力矩是一个矢量

，它的模是由力的作用点关于定点

的向径

（由定点向作用点的有向线段）与力

确定的数

它的方向满足：

垂直于

确定的平面，且

顺次成为右手系。

由于数

及

的方向由

唯一确定，所以力矩

是由力

和向径

所唯一确定的矢量。

由两个矢量按同样的规则来确定另一个矢量，在其他力学、物理学问题中还会遇到，因此，我们抽象出如下的定义：

定义2.2设有矢量

，矢量

按下述方法由

确定：

（1）

（2）矢量

的方向垂直

和

所决定的平面，且

三矢量方向顺次成右手系，则称矢量

的矢量积，记为

（1）式的几何意义

|

|的值等于以

为邻边的平行四边形的面积。

矢量

的矢量积也称为它们的矢量积，叉积。

由矢量积定义，力矩

由矢量积的定义可以推得：

（i）

（ii）对于两个非零矢量

，如果

，那么

反之，如果

下面来推导矢量积的坐标表达式。

设

，由上述的运算规律，得

所以

（2.3）

为便于记忆，上式可用行列式记号形式地表示为

（2.4）

按第一行展开，得

经计算即得（2.3）。

例2.4设

由（2.4）得

例2.5对例2.4中的向量

、

，求一单位向量

，使得

都垂直。

取

，则

都垂直，由例2.4知

，故

矢量积满足下列运算规律：

⑴

（反交换率）

⑵

（结合率）

⑶

由⑴知，矢量积并不满足交换率。

矢量积

的模

，在数值上恰好是以

这一性质有比较好的应用。

例2.6设

且

垂直，求

由于

，所以

，于是

＝2×

3×

sin

=6。

例2.7设

为已知两点，在直线

上一点

分有向线段

为两个有向线段

，使得它们的值的比等于定数

，求分点

的坐标

因为三点

共线，于是所求等式的向量表示为

易知

，得

，或

即

，

所以点

的坐标是

这点

叫做有向线段

的定比分点。

时点

在两点

之间，

之外；

是两点

的中间点，并得有向线段

的中点坐标为

例2.8已知两点

，计算向量

的模、方向余弦和方向数。

解:

=2；

例2.8计算

，并解释它的几何意义。

解

＝0－

－

－0

＝－2（

）

从而得到|

|=2|

|。

上式表明，已知一平行四边形两邻边为

，则以它的两条对角为邻边的平行四边形的面积等于原平行四边形面积的两倍。

（图2－1）

图2－1

2.3矢量的混合积

设有三个矢量

如果先作前两个矢量

的矢量积

，再作

与矢量

，便得到一个数，称这个数为三个矢量

的混合积，记为

下面我们来推出三个矢量的混合积的坐标表示式。

设矢量

，由（2.4）式，矢量积的坐标表示，

再由（2.1）式，得:

的混合积的坐标表示为

由行列式的性质易知混合积满足

⑴

即轮换混合积中三个向量的顺序，其值不变。

即对调混合积中相邻两个向量，混合积变号。

2.3混合积的几何意义

混合积是一个数，由|

|＝|

||

||cos（

）|及

的几何意义可知，

的绝对值在数值上等于以三矢量

为棱的平行六面体的体积。

平行六面体的底面积即

其高为|

）|，所以平行六面体的体积V=|

）|＝|

由混合积的定义可知，三个非零矢量

共面（即三个矢量在同一个平面上，或在互相平行的平面上）的充分必要条件是

例2.9空间中四点

证明这四点共面。

证因为

而

所以向量

共面，从而点

共面。

练习7.2

1.化简下列各式：

（1）

（2）

（3）

2.

，式中

，又

，化简表达式

3.

求⑴

⑵Prj

⑶

4.已知|

|=2，|

|=5，（

）=

，问：

系数

为何值时，矢量

垂直。

5．一矢量的终点在点

，它在

轴、

轴上的投影依次为4，－4，和7。

求这矢量的起点A的坐标。

6．已知⊿

的顶点坐标是

，求⊿

的面积

7．求平行四边形面积，若已知对角线未矢量

＝1，

＝2，（

）＝

。

8.设矢量

轴的夹角分别为

，它与

轴的夹角

是钝角，求

9．已知两点

，求与矢量

方向一致的单位矢量

10.以不共面的四点

为顶点购成一个四面体，求它的体积

11.设⊿

的顶点为

，求三角形的面积。

12.试用矢量证明三角形的余弦定理。

13.设

＋

，求证，

14．证明：

15．试用向量证明三角形的余弦定理。

16．设密度为

的液体流过平面

上的面积为

的一个区域，液体在这区域上各点的流速均为

（常矢量），设

是垂直于平面

的单位矢量。

求单位时间内经过这区域流向

所指一方的液体的质量

17．已知⊿

18．设刚体以等角速度

绕

轴旋转，计算刚体上一点

的线速度

19．以不共面的四点