因式分解专题复习及讲解很详细.docx

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因式分解专题复习及讲解很详细

因式分解的常用方法

第一局部：

方法介绍

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的根本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　〔1〕（a+b）（a-b）=a2-b2---------a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）（a±b）2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=（a±b）2；

　（3）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3------a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　（4）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3------a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

下面再补充两个常用的公式：

　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

例.是的三边，且，

那么的形状是〔〕

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形

解：

三、分组分解法.

〔一〕分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

分析：

从“整体〞看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部〞看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：

原式=

=每组之间还有公因式！

=

例2、分解因式：

解法一：

第一、二项为一组；解法二：

第一、四项为一组；

第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：

原式=原式=

==

==

练习：

分解因式1、2、

〔二〕分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

分析：

假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：

原式=

=

=

例4、分解因式：

解：

原式=

=

=

练习：

分解因式3、4、

综合练习：

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

〔5〕〔6〕

〔7〕〔8〕

〔9〕〔10〕

〔11〕〔12〕

四、十字相乘法.

〔一〕二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：

〔1〕二次项系数是1；

〔2〕常数项是两个数的乘积；

〔3〕一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：

十字相乘有什么根本规律？

例.0＜≤5，且为整数，假设能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

解析：

但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。

于是为完全平方数，

例5、分解因式：

分析：

将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

12

解：

=13

=1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：

将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

解：

原式=1-1

=1-6

〔-1〕+〔-6〕=-7

练习5、分解因式

（1）

（2）（3）

练习6、分解因式

（1）

（2）（3）

〔二〕二次项系数不为1的二次三项式——

条件：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

分解结果：

=

例7、分解因式：

分析：

1-2

3-5

〔-6〕+〔-5〕=-11

解：

=

练习7、分解因式：

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

〔三〕二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：

分析：

将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+（-16b）=-8b

解：

=

=

练习8、分解因式

（1）

（2）（3）

〔四〕二次项系数不为1的齐次多项式

例9、例10、

1-2y把看作一个整体1-1

2-3y1-2

（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3

解：

原式=解：

原式=

练习9、分解因式：

〔1〕〔2〕

综合练习10、〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

〔5〕〔6〕

〔7〕〔8〕

〔9〕〔10〕

思考：

分解因式：

五、换元法。

例13、分解因式〔1〕

〔2〕

解：

〔1〕设2005=，那么原式=

=

=

〔2〕型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=

设，那么

∴原式==

==

练习13、分解因式〔1〕

〔2〕

〔3〕

例14、分解因式〔1〕

观察：

此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称〞。

这种多项式属于“等距离多项式〞。

方法：

提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。

解：

原式==

设，那么

∴原式==

==

==

=

〔2〕

解：

原式==

设，那么

∴原式==

==

练习14、〔1〕

〔2〕

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式〔1〕

解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=原式=

======

==

〔2〕

解：

原式=

=

=

=

练习15、分解因式

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

〔5〕〔6〕

七、待定系数法。

例16、分解因式

分析：

原式的前3项可以分为，那么原多项式必定可分为

解：

设=

∵=

∴=

比照左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例17、〔1〕当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

〔2〕如果有两个因式为和，求的值。

〔1〕分析：

前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：

设=

那么=

比拟对应的系数可得：

，解得：

或

∴当时，原多项式可以分解；

当时，原式=；

当时，原式=

〔2〕分析：

是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

解：

设=

那么=

∴解得，

∴=21

练习17、〔1〕分解因式

〔2〕分解因式

〔3〕：

能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

〔4〕为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二局部：

习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式：

m3-4m=.

3.分解因式：

x2-4y2=_______.

4、分解因式：

=_________________。

5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），那么n的值为.

6、假设，那么=_________，=__________。

二、选择题

7、多项式的公因式是（）

A、B、C、D、

8、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）

A、B、

C、D、

10.以下多项式能分解因式的是〔〕

（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4

11．把〔x－y〕2－〔y－x〕分解因式为〔〕

A．〔x－y〕〔x－y－1〕B．〔y－x〕〔x－y－1〕

C．〔y－x〕〔y－x－1〕D．〔y－x〕〔y－x＋1〕

12．以下各个分解因式中正确的选项是〔〕

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac〔5b2＋3c〕

B．〔a－b〕2－〔b－a〕2＝〔a－b〕2〔a－b＋1〕

C．x〔b＋c－a〕－y〔a－b－c〕－a＋b－c＝〔b＋c－a〕〔x＋y－1〕

D．〔a－2b〕〔3a＋b〕－5〔2b－a〕2＝〔a－2b〕〔11b－2a〕

13.假设k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为〔〕

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把以下各式分解因式：

14、15、

16、17、

18、19、；

五、解答题

20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。

求纸片剩余局部的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？

（取3.14，结果保存2位有效数字）

22、观察以下等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。

经典二：

爱特教育

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

〔1〕通常采用一“提〞、二“公〞、三“分〞、四“变〞的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

〔2〕假设上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项〔添项〕等方法；

下面我们一起来回忆本章所学的内容。

1.通过根本思路到达分解多项式的目的

例1.分解因式

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：

原式

解二：

原式=

2.通过变形到达分解的目的

例1.分解因式

解一：

将拆成，那么有

解二：

将常数拆成，那么有

3.在证明题中的应用

例：

求证：

多项式的值一定是非负数

分析：

现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

设，那么

4.因式分解中的转化思想

例：

分解因式：

分析：

此题假设直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：

设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：

在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换〞是很重要的。

中考点拨

例1.在中，三边a,b,c满足

求证：

证明：

说明：

此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2.：

__________

解：

说明：

利用等式化繁为易。

题型展示

1.假设x为任意整数，求证：

的值不大于100。

解：

说明：

代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多