数学新导学笔记人教A选修23讲义第一章 计数原理132文档格式.docx
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内容
对称性
C=C,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
增减性与最大值
如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中间一项
的二项式系数最大
如果n为奇数,那么其展开式中间两项
与
的二项式系数相等且同时取得最大值
各二项式
系数的和
二项展开式中各二项式系数的和等于2n,即C+C+C+…+C=2n
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n-1,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1
1.杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( ×
)
2.二项式展开式的二项式系数和为C+C+…+C.( ×
3.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ×
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1
(1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是( )
A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行
(2)如图,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:
1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于( )
A.144B.146C.164D.461
考点 二项式系数的性质
题点 与杨辉三角有关的问题
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)由题意,第6行为1,6,15,20,15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.
(2)由题干图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是C,所以S(16)=C+C+C+C+…+C+C=(C+C+…+C)+(C+C+…+C)
=(C+C+C+…+C-C)+(C+C+…+C)
=C+C-1=164.
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
答案 34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3,它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,所以C∶C=2∶3,即=,解得n=34,所以在第34行中,从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
类型二 二项式系数和问题
例2 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.
求下列各式的值:
(1)a0+a1+a2+…+a5;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;
(3)a1+a3+a5.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解
(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.
由(2x-1)5的通项Tk+1=C(-1)k·
25-k·
x5-k知a1,a3,a5为负值,
所|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35,
得2(a1+a3+a5)=1-35.
所以a1+a3+a5==-121.
引申探究
在本例条件下,求下列各式的值:
(1)a0+a2+a4;
(2)a1+a2+a3+a4+a5;
(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
解
(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,
-a0+a1-a2+…+a5=-35.
所以a0+a2+a4==122.
(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,
所以a0=25=32.
又a0+a1+a2+…+a5=1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.
(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.
所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.
令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;
对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f
(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
跟踪训练2 在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
解 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C+C+C+…+C=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,
所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得
a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,
即所有奇数项系数之和为.
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)=(+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 令x=1,则二项式各项系数的和为f
(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.
∴(2n)2-2n-992=0,
∴(2n+31)(2n-32)=0,
∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.
(1)由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=C
·
(3x2)2=90x6,T4=C
(3x2)3=270
.
(2)展开式的通项公式为Tk+1=C·
3k·
,
假设Tk+1项系数最大,
则有
∴
即∴≤k≤,∵k∈N,∴k=4,
∴展开式中系数最大的项为T5=C
(3x2)4=405
反思与感悟
(1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
①当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
②当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第k+1项最大,应用解出k,即得出系数的最大项.
跟踪训练3 写出(x-y)11的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)项的系数绝对值最大的项;
(3)项的系数最大的项和系数最小的项;
(4)二项式系数的和;
(5)各项系数的和.
解
(1)二项式系数最大的项为中间两项:
T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.
(2)(x-y)11展开式的通项为
Tk+1=Cx11-k(-y)k=C(-1)kx11-kyk,
∴项的系数的绝对值为|C·
(-1)k|=C,
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数,其最大的项也是中间两项,T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.
(3)由
(2)知中间两项系数绝对值相等,
又∵第6项系数为负,第7项系数为正,
故项的系数最大的项为T7=Cx5y6,项的系数最小的项为T6=-Cx6y5.
(4)展开式中,二项式系数的和为C+C+C+…+C=211.
(5)令x=y=1,得展开式中各项的系数和为C-C+C-…-C=(1-1)11=0.
1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是( )
A.8B.6C.4D.2
答案 B
解析 由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.
2.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是( )
A.n,n+1B.n-1,n
C.n+1,n+2D.n+2,n+3
题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项
答案 C
解析 2n+1为奇数,展开式中中间两项的二项式系数最大,分别为第项,第项,即第n+1项与第n+2项,故选C.
3.已知n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于( )
A.4B.5
C.6D.7
题点 二项式系数与项的系数问题
解析 令x=1,各项系数和为4n,二项式系数和为2n,故有=64,所以n=6.
4.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为________.
答案 -15
解析 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①
又Tk+1=C(-3)4-k(2x)k,
∴当k=4时,x4的系数a4=16.②
由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.
5.已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为________.
题点 多项展开式中系数的和问题
答案
解析 由C+C+C=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8(负值舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=C×
×
(2x)4=x4,该项的系数为.
1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点:
(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时,注
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- 数学新导学笔记人教A选修23讲义第一章 计数原理132 数学 新导学 笔记 选修 23 讲义 第一章 计数 原理 132
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