高中数学题型全面归纳 抛物线及其性质44改Word格式文档下载.docx
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(1)
在抛物线内(含焦点)
(2)
在抛物线上
(3)
在抛物线外
2.焦半径
抛物线上的点
与焦点
的距离称为焦半径,若
,则焦半径
,
3.
的几何意义
为焦点
到准线
的距离,即焦准距,
越大,抛物线开口越大.
4.焦点弦
若
为抛物线
的焦点弦,
,则有以下结论:
(3)焦点弦长公式1:
,当
时,焦点弦取最小值
,即所有焦点弦中通径最短,其长度为
焦点弦长公式2:
(
为直线
与对称轴的夹角).
(4)
的面积公式:
5.抛物线的弦
若AB为抛物线
的任意一条弦,
,弦的中点为
,则
(1)弦长公式:
(2)
(3)直线AB的方程为
(4)线段AB的垂直平分线方程为
6.求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(
法)
(1)
焦点为
,准线为
如
,即
,焦点为
,准线方程为
7.参数方程
的参数方程为
(参数
)
8.切线方程和切点弦方程
抛物线
的切线方程为
为切点
切点弦方程为
点
与中点弦平行的直线为
此直线与抛物线相离,点
(含焦点)是弦AB的中点,中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等,用点差法也可以得到同样的结果。
题型归纳及思路提示
题型143;
抛物线的定义与方程
思路提示
求抛物线的标准方程的步骤为:
(1)先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置:
(2)根据题目条件列出P的方程
(3)解方程求出P,即得标准方程
已知抛物线
的准线与圆
相切,求的值为()
A.
B.
C.2D.4
变式1【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_______.
变式2设
上一点,
的焦点,以
为圆心,
为半径的圆和抛物线
的准线相交,则
的取值范围是()
C.
D.
若点
到直线
的距离比它到点
的距离小
,则点
的轨迹为()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
变式1设圆
与圆
外切,与直线
相切,则
的圆心轨迹为()
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆
变式2【2016高考天津理数】设抛物线
,(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(
p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为
,则p的值为_________.
设抛物线
上一点
到
轴的距离是
抛物线焦点的距离是()
A.4B.6C.8D.12
变式1已知抛物线关于
轴对称,它的顶点在坐标原点
,并且经过点
,若点
到该抛物线焦点的距离为3,则
()
B.
C.4D.
变式2已知
是抛物线
的焦点,
是该抛物线上的两点,
则线段
的中点到
轴的距离为()
变式3设
为该抛物线上三点,若
A.9B.6C.4D.3
过抛物线
的焦点
作倾斜角为
的直线与抛物线分别交于
两点(点
在
轴上方),则
变式1已知
的焦点,过
且斜率为1的直线交
于
两点,设
与
的比值等于
变式2【2016年高
考四川理数】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线
上任意一点,M是线段PF上的点,且
=2
则直线OM的斜率的最大值为()
(A)
(B)
(C)
(D)1
题型144与抛物线有关的距离和最值问题
思路提示
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离,利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化,从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题,即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”,若求抛物线上的点到定直线(并非准线)距离的最值问题用参数法或切线法求解。
已知直线
和直线
,抛物线
上一动点
和
的距离之和的最小值是()
B.3C.
变式1已知点
上的一个动点,则点
到点
与到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
变式2已知点
在抛物线
上,那么当点
的距离与点
到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点
的坐标为()
变式3【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14C.12D.10
题型145抛物线中三角形,四边形的面积问题
思路提示
解决此类问题经常利用抛物线的定义,将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离,并构成直角三角形或直角梯形,从而计算其面积或面积之比。
例10.28在直角坐标系
中,直线
,且与该抛物线相交于
两点,其中点
轴上方,若直线
的倾斜角为
的面积为
变式1过抛物线
的直线交抛物线于
两点,点
是坐标原点,若
的面积为()
变式2【2015高考浙江,理5】如图,设抛物线
的焦点为
,不经过焦点的直线上有三个不同的点
,其中点
在抛物线上,点
轴上,则
的面积之比是()
A.
B.
C.
D.
例10.29抛物线
,经过
且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点
,垂足为
的面积是()
变式1已知抛物线
,准线与
轴的交点为
,点
上且
变式2【2017天津,理19】设椭圆
的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
.已知
到抛物线的准线
的距离为
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设
上两点
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
异于点
),直线
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
最有效训练题44(限时45分钟)
1.抛物线
上有一点
,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()
2.若点
的距离大1,则点
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
3.已知抛物线
以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.不能确定
4.已知双曲线
的离心率为2,若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2,则抛物线
的方程为()
5.等轴双曲线
的中心在原点,焦点在
轴上,
的准线交于
两点,
则
的实轴长为()
6.已知
上两点,点
的横坐标分别为
过
分别作抛物线的切线,两切线交于点
则点
的纵坐标为()
7.已知以
为焦点的抛物线
上的两点
满足
,则弦
的中点到准线的距离为
8.若点
的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则
9.已知点
,动点
上运动,则
取得最小值时的点
的坐标是
10.已知抛物线
的焦点是
是抛物线上的动点
(1)若有点
,求的最小值,并
求出取最小值时
点的坐标
(2)若点
的坐标为
,求
的最小值
(3)若
点在
轴上的射影是
的坐标是
的最小值.
11.已知抛物线方程
(1)若抛物线焦点坐标为
,求抛物线的方程
(2)若动圆
过
,且圆心
在该抛物线上运动,
是圆
轴的交点,当
满足什么条件时,
是定值?
12.如图10-14所示,已知点
均在抛物线
上,
的重心与此抛物线的焦点
重合。
(1)写出该抛物线的方程及焦点
的坐标;
(2)求线段
的中点
的坐标;
(3)求
所在直线的方程.
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