高考文科数学一轮总复习概率Word文档下载推荐.docx
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2.概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含
关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A+B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
且A∪B=Ω
常用知识拓展
概率的几个基本性质
1.概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
2.必然事件的概率:
P(A)=1.
3.不可能事件的概率:
P(A)=0.
4.概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
5.对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)随机事件和随机试验是一回事.( )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )
(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
(6)两互斥事件的概率和为1.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
(5)√ (6)×
(教材习题改编)总数为10万张的彩票,中奖率是
,下列说法中正确的是( )
A.买1张一定不中奖
B.买1000张一定有一张中奖
C.买2000张一定中奖
D.买2000张不一定中奖
解析:
选D.由题意知,彩票中奖属于随机事件,故买1张也可能中奖,买2000张也可能不中奖.
(2018·
高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6D.0.7
选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故选B.
袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则
①恰有1个白球和全是白球;
②至少有1个白球和全是黑球;
③至少有1个白球和至少有2个白球;
④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为( )
A.①B.②
C.③D.④
选A.由题意可知,事件③④均不是互斥事件;
①②为互斥事件,但②又是对立事件,满足题意只有①,故选A.
李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
42
80~89分
172
70~79分
240
60~69分
86
50~59分
52
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:
(1)90分以上的概率:
________.
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率:
(1)
=0.07.
(2)
=0.1.
(1)0.07
(2)0.1
随机事件的关系(师生共研)
从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.
【答案】 C
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;
两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;
②事件A的对立事件
所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
1.设条件甲:
“事件A与事件B是对立事件”,条件乙:
“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选A.若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A:
“至少出现一次正面”,事件B:
“3次都出现正面”,则P(A)=
,P(B)=
,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取2个小球,若事件“2个小球全是红球”的概率为
,则概率为
的事件是( )
A.恰有一个红球 B.两个小球都是白球
C.至多有一个红球D.至少有一个红球
选C.因为
=1-
,所以概率为
的事件是“2个小球全是红球”的对立事件,应为:
“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件,即为“至多有一个红球”.
随机事件的频率与概率(师生共研)
(2017·
高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【解】
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为
=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则Y=6×
450-4×
450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×
300+2(450-300)-4×
450=300;
若最高气温低于20,则Y=6×
200+2(450-200)-4×
450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样调查,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表:
赔付金额(元)
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
解:
(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得
P(A)=
=0.15,P(B)=
=0.12.
由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×
1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×
120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
互斥事件、对立事件的概率(师生共研)
某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)1张奖券的中奖概率;
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解】
(1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,依题意,P(A)=
,P(C)=
,因为A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
,
故1张奖券的中奖概率为
.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
[提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法.
1.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去
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