必修四平面向量的实际背景与基本概念附答案Word下载.docx

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以A为起点、B为终点的有向线段记作

.

（2）向量的字母表示：

向量可以用字母a,b,c，…，表示（印刷用黑体a，b，c，书写时用

，

）．

（3）向量

的大小：

也就是向量

的长度（或称模），即有向线段

的长度，记作|

|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；

长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

思考　在同一平面，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．

答案　单位圆

知识点三　相等向量与共线向量

（1）相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

（2）平行向量：

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．

①记法：

向量a平行于b，记作a∥b.

②规定：

零向量与任一向量平行．

（3）共线向量：

由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

思考　向量平行具备传递性吗？

答案　向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．

题型一　向量的基本概念

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若

＝

，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形ABCD中，一定有

；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②

，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，|

|＝|

|，

与

平行且方向相同，故

，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；

b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；

b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．

跟踪训练1　下列说确的有________．

（1）若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

（2）向量

是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

是平行向量；

（4）任何两个单位向量都是相等向量．

答案　（3）

解析　

（1）错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

（2）错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量

、

必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．

（3）正确．向量

和

是长度相等，方向相反的两个向量．

（4）错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；

单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

题型二　向量的表示及应用

例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°

走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．

（1）作出向量

（2）求|

|.

解　

（1）向量

如图所示．

（2）由题意，易知

方向相反，故

共线，

又|

∴在四边形ABCD中，AB綊CD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴

，∴|

|＝200km.

跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

（1）试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

（2）在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝

，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解　

（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等（作图略）．

（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为

的圆（作图略）．

题型三　平行向量与共线向量

例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

（1）写出与

共线的向量；

（2）写出与

的模大小相等的向量；

（3）写出与

相等的向量．

解　

（1）因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊

BC.又因为D是BC的中点，

所以与

共线的向量有：

，

（2）与

模相等的向量有：

（3）与

相等的向量有：

跟踪训练3　如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则

（1）与

的模相等的向量有多少个？

的模相等，方向相反的向量有哪些？

共线的向量．

解　

（1）与

的模相等的向量有

三个向量．

的模相等且方向相反的向量为

共线的向量有

对向量的有关概念理解不清致误

例4　下列说确的个数是（　　）

①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④有相同起点的两个非零向量不平行．

A．1B．2C．3D．4

错解　向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同（包括起点、终点），同起点共线向量不是平行向量．

答案　B或C或D

错因分析　对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．

正解　事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；

对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；

对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；

a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．

答案　A

1．下列说法错误的是（　　）

A．若a＝0，则|a|＝0B．零向量是没有方向的

C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的

2．下列说确的是（　　）

A．若|a|>

|b|，则a>

bB．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线

3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量

的关系是（　　）

A.

B．|

|

C.

>

D.

<

4.如图所示，以1×

2方格纸中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中．

相等的向量；

模相等的向量．

5．如图所示，在四边形ABCD中，

，N，M分别是AD，BC上的点且

，求证：

四边形DNBM是平行四边形．

一、选择题

1．下列条件中能得到a＝b的是（　　）

A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同

C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝0

A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D．若a＝b，b＝c，则a＝c

3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”（　　）

A．总成立B．当a≠0时成立

C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立

4．如图，在四边形ABCD中，若

，则图中相等的向量是（　　）

　　　B.

　　　D.

5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：

①|a|＞|b|；

②a∥b；

③|a|＞0；

④|b|＝±

1，其中正确的是（　　）

A．①④B．③C．①②③D．②③

6．判断下列命题中不正确的是命题个数为（　　）

①若向量a与b同向，且|a|>

b；

②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

7．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．

8．给出以下5个条件：

①a＝b；

②|a|＝|b|；

③a与b的方向相反；

④|a|＝0或|b|＝0；

⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）

9．在四边形ABCD中，

且|

|，则四边形的形状为________．

10．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，则|

|＝________.

三、解答题

11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°

方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°

方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°

方向行驶2千米才到达B地．

（1）画出

（2）求B地相对于A地的位置向量．

12．如图，已知

.求证：

（1）△ABC≌△A′B′C′；

（2）

13．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：

（1）分别找出与

（2）找出与

（3）找出与

模相等的向量；

（4）向量

是否相等？

当堂检测答案

1．答案　B

解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．

2．答案　C

解析　A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>

|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>

b，A不正确；

同理B错误；

D中，a≠b，a可与b共线．故选C.

3．答案　B

解析　|

|与|

|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．

4.解　

（1）

.

（2）

5．证明　∵

∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．

又∵

，∴四边形CNAM为平行四边形，

∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，

∴四边形DNBM是平行四边形．

1．答案　D

2．答案　D

3