版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例第1节随机抽样学案理新人教B版Word文档下载推荐.docx

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第二步分段：

确定分段间隔k，对编号进行分段，当

（n是样本容量）是整数时，取k＝

；

第三步确定首个个体：

在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号s（s≤k）；

第四步获取样本：

按照一定的规则抽取样本，通常是将s加上间隔k得到第2个个体编号（s＋k），再加k得到第3个个体编号（s＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本.

总体中的个体数较多.

3.分层抽样

在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.

（2）应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.

[常用结论与微点提醒]

1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是

.

2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×

”）

（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（　　）

（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.（　　）

（3）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（　　）

（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.（　　）

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

2.（教材习题改编）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

解析　由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；

其中1名居民的阅读时间是个体；

从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

答案　A

3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A.抽签法B.系统抽样法

C.分层抽样法D.随机数法

解析　因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选C.

答案　C

4.从2017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：

先用简单随机抽样法从2017名学生中剔除17名学生，剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率（　　）

A.不全相等B.均不相等

C.都相等，且为

D.都相等，且为

解析　从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于

5.从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为________.

解析　因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×

＝30.

答案　30

考点一　简单随机抽样及其应用

【例1】

（1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.0B.1C.2D.3

（2）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A.08B.07C.02D.01

解析　

（1）①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；

②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；

③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；

④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.

（2）从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.

答案　

（1）A　

（2）D

规律方法　1.简单随机抽样是从含有N（有限）个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.

2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；

二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：

随机数表法的操作要点：

编号，选起始数，读数，获取样本.

【训练1】

（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

（2）利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为

，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　

（1）选项A，B是系统抽样，C项是分层抽样，D是简单随机抽样.

（2）依题意，得

＝

，解之得n＝28.

故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P＝

答案　

（1）D　

（2）C

考点二　系统抽样及其应用

【例2】

（1）（2018·

安徽皖北联考）某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　　）

A.5B.7C.11D.13

（2）（2018·

长沙雅礼中学质检）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：

分钟）的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.

解析　

（1）把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组.

所以第1组抽到的数为39－32＝7.

（2）依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.

成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.

答案　

（1）B　

（2）4

规律方法　1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝

，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

【训练2】

（1）（2018·

郑州模拟）为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（　　）

A.13B.19C.20D.51

湖北重点中学适应模拟）某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.

解析　

（1）由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷

4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×

2，7＋13×

3，即7号，20号，33号，46号.

∴样本中还有一位同学的编号为20.

（2）系统抽样的抽取间隔为

＝6.设抽到的最小编号为x，

则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＋（24＋x）＝75，所以x＝3.

答案　

（1）C　

（2）3

考点三　分层抽样及其应用

【例3】

（1）（2017·

江苏卷）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.

（2）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：

人）.

篮球组

书画组

乐器组

高一

45

30

a

高二

15

10

20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.

解析　

（1）因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例为

因此应从丙种型号的产品中抽取300×

＝18（件）.

（2）由分层抽样得

，解得a＝30.

答案　

（1）18　

（2）30

规律方法　1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：

层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

（1）

（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

【训练3】

（1）（2015·

北京卷）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（　　）

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A.90B.100C.180D.300

唐山调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.

解析　

（1）设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得

，故x＝180.

（2）由题设，抽样比为

设甲设备生产的产品为x件，则

＝50，∴x＝3000.

故乙设备生产的产品总数为4800