排列组合典型类型题总结文档格式.docx
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在
的右边,那么不同的排法种数有
A、60种B、48种C、36种D、24种
二.相离问题插空法:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种
元素相同问题隔板策略
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
例3某校召开学生会议,要将10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,若每班至少1个名额,又有多少种不同分法?
例4把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,则共有种不同的放法。
三.特殊元素或特殊位置优限法:
优先解决带限制条件的元素或位置,或说“先解决特殊元素或特殊位置”
例5.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
四.分组分配:
1基本的分组的问题
例4六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)每组两本.
(2)一组一本,一组二本,一组三本.
(3)一组四本,另外两组各一本.
2.基本的分配的问题
(1)定向分配问题
例5六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)甲两本、乙两本、丙两本.
(2)甲一本、乙两本、丙三本.
(3)甲四本、乙一本、丙一本.
(2)不定向分配问题
例6六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)每人两本.
(2)一人一本、一人两本、一人三本.
(3)一人四本、一人一本、一人一本.
例7六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法?
3.分配问题的变形问题
例8四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?
例9有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种?
例10设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A为定义域,B为值域,则从集合A到集合B的不同的函数有多少个?
五.相同元素隔板法及应用:
情形1:
将n件相同的物品或(名额)分配给m个(或位置),允许若干个人或(位置)为空。
将n件物品和m-1个隔板排成一排,占n+m-1个位置,从n+m-1个位置选m-1位置放隔板,有
种。
情形2:
将n件相同的物品或(名额)分配给m个(或位置),每个位置必须有物品,有
例11.把20个相同的球放入4个不同的盒子,每个盒子都不空,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入4个不同的盒子,每个盒子至少有3个小球,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入编号为2,3,4,5的4个盒子,每个盒子的小球数不少于编号数,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入4个不同的盒子,盒子可以空,有多少种不同方法?
1.指标分配问题。
例12、某校召开学生会议,要将10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,若每班至少1个名额,又有多少种不同分法?
2.求n项展开式的项数。
例13、求
展开式中共有多少项?
例14、求方程
+
+…+
=7的正整数解的个数。
五至多,至少问题排除法
例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
A、140种B、80种C、70种D、35种
例16.
(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种B、64种C、58种D、52种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有
A、150种B、147种C、144种D、141种
6.综合问题先选后排
例17.
(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
七.对等问题缩倍法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例19.
必须站在
的右边(
可以不相邻)那么不同的排法种数是
A、24种B、60种C、90种D、120种
十.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例20.
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
复杂的排列组合问题
例23上一个有10级台阶的楼梯,每步可上一级或两级,共有多少种上台阶的方法?
例24如图1中A,B,C,D为海上四个岛,
要建三座桥,将这四个小岛连接起来,
则不同的建桥方案共有()
A.8种B.12种C.16种D.20种
例25把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,则共有种不同的放法。
例27.
(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个?
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