22函数的定义域与值域Word文件下载.docx

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题型13函数定义域的求解

思路提示

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子

有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

（3）将解集写成集合或区间的形式.

二、给出函数解析式求解定义域

例2.10函数

的定义域为（）．

A.（-4,-1）B.（-4,1）C.（-1,1）D.（-1,1]

分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解

解析

得

，故选C

变式1函数

的定义域为（）

A.（0，1）B[0，1）C.（0，1]D[0，1]

变式2求函数

的定义域.

三、抽象函数定义域

已知

的定义域.

解题时注意：

（1）定义域是指自变量的取值范围；

（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.

例2.11

（1）已知函数

的定义域为（0，1）求

的定义域

（2）已知函数

的定义域为（2，4）求

（3）已知函数

的定义域为（1，2）求

分析已知函数

的定义域为D，求函数

的定又域

，只需

;

已知函数

求函数了

的定义域，只需

，即求

的值域.

解析

（1）

的定义域为（0，1），即0<

x<

1.故

，所以

≠0，所以

的定义域为

（2）

的定义域为（2，4）.即2<

4.所以4<

<

16，故

的定义域为（4，16）；

（3）因为

的定义域为（1，2）即1＜

＜2，所以1＜

＜4，故需1＜

＋1＜4．所以0＜

＜

，故

评注定义域是对自变量而言的，如

的定义域为（1，2）指的是x的范围而非

的范围.

变式1已知函数

的定义域是［0，1］，求

的定义域．

变式2设

，则

A（-4,0）U（0，4）B

C.

D

三、实际问题中函数定义域的求解

例2.12如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝

，并写出其定义域.

分析在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.

解析由题意：

于是

，因此

，化简即为

又根据实际应有

得

，即所求函数的定义域为

评注求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域

题型14函数定义域的应用

思路提示对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.

例2.13若函数

的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.

分析函数

的定义域为R,即

≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解

解析由题意知

≥0在R上恒成立,所以

即有

恒成立,其等价于△=

则实数

的取值范围为[―1,0]

变式1若函数

的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）

A.

B.

D.

变式2函数

的定义域是R,求a的取值范围.

变式3若函数

的定义域为R，求实数a的取值范围.

题型15函数值域的求解

思路提示函数值域的求法主要有以下几种

（1）观察法:

根据最基本函数值域（如

≥0,

及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

（2）配方法：

对于形如

的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

（3）图像法：

根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

（4）基本不等式法：

注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

（5）换元法：

分为三角换元法与代数换元法，对于形

的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.

（6）分离常数法：

对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

（7）判别式法：

把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如

，

或

的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.

（8）单调性法：

先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如

的函数，当ac>

0时可利用单调性法.

（9）有界性法：

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.

（10）导数法：

先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.

一观察法

例2.14求函数

分析由观察法直接得到函数的值域.

解析因为

，所以函数的值域为

.

变式1函数

的值域是.

变式2函数

二配方法

例2.15求函数

分析对于根式中的二次函数，利用配方法求解.

解析由

，得

变式1求函数

变式2求

变式3设函数

的定义域为D，若所有点

构成一个正方形区域，则a的值为（）.

A-2B-4C-8D不能确定

三图像法（数形结合）

例2.16求函数

分析由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和.

解析如图2-4所示，

，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点

，连接

B¹

A交y=1于点P¹

（0,1）,此时AB¹

的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P¹

（0,1）到A,B两点的距离之和为

，故函数的值域为[

+∞﹚.

评注本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A¹

（-1,1）,B¹

（1,1）的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹

|+|PB¹

|

，则|PA¹

|的最小值为

变式1求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

的值域是（）.

A

B

C

D

变式3函数

C

四基本不等式法

例2.17已知x>

2,求函数

解析令

则

（当且仅当

，即t=2,x=3时取等号）.故函数

的值域为

变式1求函数

五、换元法（代数换元与三角换元）

【例2.18】求函数

.因为函数

的对称轴

，所以函数在区间

上单调递增，所以值域为

.故函数

变式1：

求函数

变式2：

6、分离常数法

【例2.19】求

分析本例中的函数是关于

的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.

解析由题意得

，因为

，故值域为

7、判别式法

【例2.20】求函数

解析因为

恒成立，所以函数的定义域为R.

原式可化为

.整理得

.若

，即

若

，即有

，解得

.综上所述，函数的值域为

，求

的值.

的定义域为R，值域为

8、单调性法

【例2.21】求函数

解析由函数的定义域为

，且函数

在区间

上单调递增.当

时，

函数

的值域是_______________.

变式3：

变式4：

9、有界性法

【例2.22】求函数

解析解法一（有界性法）：

由题意可得

，由

，可知

，故

，可得

，因此所求函数的值域为

解法二（分离常数法）：

，因此函数的值域为

，求函数的值域.

，若有

的取值范围为（）

【例2.23】已知

，求函数

，且

.得

.又

.故

.因此函数的值域为

评注本题也可以用数形结合思想求解，设

的几何意义为点

与点

所确定直线的斜率，其中

为单位圆在

轴左侧部分.

10、导数法

【例2.24】求函数

.由表

看出，

的最大值

的最小值

评注对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.

若函数

及

上都是增函数，而在

上是减函数，求此函数在

上的值域.

最有效训练题5（限时45分钟）

1.已知

，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（）

2.若函数

的定义域为R，则实数

的取值范围是（）

3.定义域为R是函数

，则函数

的值域是（）

4.函数

5.设函数

6.对任意两实数

，定义运算“*”如下：

，函数

的值域为（）

7.函数

的定义域是________________.

8.函数

的值域为________________.

9.若函数

的值域是____________.

10.已知函数

，定义域为

，值域为

的取值范围是_________________.

11.求下列函数的定义域.

（1）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）已知函数

的定义域；

（8）已知函数

12.求下列函数的值域.