中考数学复习第五单元四边形第21讲特殊的平行四边形练习Word文档下载推荐.docx

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∴BF＝FC.∴OF为△ABC的中位线．∴OF＝

AB＝1.

∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°

，∴∠EDC＝45°

∴△EDC是等腰直角三角形，EC＝CD＝2.

∴S△OEC＝

EC·

OF＝1.

1．判定矩形的基本思路：

（1）若已知两个角的度数为90°

，则再证明一个角为90°

，可以证明该四边形是矩形；

（2）若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；

（3）若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；

（4）若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．

2．应用矩形性质计算的一般思路：

根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系．

【拓展问题】　（3）如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF＝DF，你同意吗？

请说明理由．

【思路点拨】　连接EF，由折叠和中点性质可知EG＝ED，利用“HL”证明Rt△EGF≌

Rt△EDF即可．

同意．理由如下：

连接EF.

根据折叠的性质，得AE＝EG，∠A＝∠BGE.

∴∠D＝∠A＝90°

∴∠D＝∠BGE＝∠EGF＝90°

∵点E是AD的中点，

∴AE＝ED＝EG.

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．

∴GF＝DF.

对于解决矩形中的折叠问题，有以下三方面的思路：

（1）折叠的性质：

折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段等均相等；

（2）找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系；

（3）一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，解方程来求线段长.

（4）在（3）的条件下，若DC＝2FC，试判断AD与AB的数量关系，并说明理由．

【思路点拨】　不妨设CD＝x，根据题目中所给信息分别用含有x的代数式表示出CD，BC的长度，从而求得两条线段的比．

AD＝

AB.理由如下：

设FC＝x，则BG＝AB＝DC＝2x.

由（3）知，GF＝DF，∴GF＝x.

∴BF＝BG＋GF＝2x＋x＝3x.

在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝

＝

＝2

x.

∴

∴AD＝

AB.

【

变式训练】　（2018·

青岛）已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.

（1）求证：

AB＝AF；

（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°

，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∴∠AFC＝∠DCG.

∵GA＝GD，∠AGF＝∠DGC，

∴△AGF≌△DGC（ASA）．

∴AF＝DC.

∴AB＝AF.

（2）结论：

四边形ACDF是矩形．

理由：

∵AF＝CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形．

∴∠BAD＝∠BCD＝120°

∴∠FAG＝60°

∵AB＝AG＝AF，

∴△AFG是等边三角形．

∴AG＝GF.

∵△AGF≌△DGC，

∴FG＝CG.∵

AG＝GD，

∴AD＝CF.

∴四边形ACDF是矩形．

考点1　矩形的性质

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是（D）

A．∠ABC＝90°

B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD

2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠AOD＝120°

，AB＝6，则AC等于（C）

A．8B．10C．12D．18

3．（2018·

内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°

，则∠DFE的度数为（D）

A．31°

B．28°

C．62°

D．56°

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为（D）

A．2.4B．2C．1.8D．1.5

5．（2018·

株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为

．

6．（2018·

江西）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为3

.

7.（2018·

湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.

△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．

在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE.

在△ADE与△BCE中，

∴△ADE≌△BCE（SAS）．

（2）由

（1）知，△ADE≌△BCE，则DE＝EC.

在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝

AB＝3.

由勾股定理知，DE＝

＝5.

∴△CDE的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝16.

考点2　矩形的判定

8．（2018·

上海）已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（B）

A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC

9．（2018·

湘潭）如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（B）

A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形

10．（2018·

新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.

△DOE≌△BOF；

（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形

状，并说明理由．

∴AO＝CO，BO＝DO.

又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF.

在△DOE和△BOF中，

∴△DOE≌△BOF（SAS）．

（2）四边形EBFD是矩形．

∵△DOE≌△BOF，

∴∠ODE＝∠OBF，DE＝BF.

∴DE∥BF.

∴四边形EBFD是平行四边形．

又∵BD＝EF，

∴四边形EBFD是矩形．

11．（2018·

通辽）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.

△AEF≌△DEB；

（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

证明：

（1）∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∠EAF＝∠EDB.

∴△AEF≌△DEB（AAS）．

（2）四边形ADCF是矩形．

证法

（一）：

连接DF.

∵AF平兴奇CD，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵△AEF≌△DEB，

∴BE＝FE.

又AE＝DE，

∴四边形ABDF是平行四边形．

∴DF＝AB.

又AB＝AC，

∴DF＝AC.

∴四边形ADCF是矩形．

证法

（二）：

∵AF

CD，

四边形ADCF是平行四边形．

∵△AEF≌△DEB.

∴AF＝DB.

又AF＝CD，

∴DB＝CD，即AD是△ABC的中线．

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC.

∴∠ADC＝90°

12．（2018·

威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（C）

A．1B.

C.

D.

13．（2018·

玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.

四边形EFNM是矩形；

（2）已知AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．

过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别为G，H.

∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，

∴EG＝ME，GE＝EM′.

∴EG＝ME＝ME′＝

MM′.

同理可证，FH＝NF＝N′F＝

NN′.

∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，

∴MM′＝NN′.

∴ME＝NF＝EG＝FH.

又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，

∴四边形EFNM是矩形．

（2）∵DC∥AB，

∴∠CDA＋∠DAB＝180°

∵∠3＝

∠CDA，∠2＝

∠DAB，

∴∠3＋∠2＝90°

在Rt△DEA中，∵AE＝4，DE＝3，

∴∠DAB＝∠DCB.

又∵∠2＝

∠DAB，∠5＝

∠DCB.

∴∠2＝∠5.

由

（1）知，GE＝NF，

在Rt△GEA和Rt△NFC中，

∴△GEA≌△NFC（AAS）．

∴AG＝CN.

在Rt△DME和Rt△DGE中，

∵DE＝DE，ME＝GE，

∴Rt△DME≌Rt△DGE（HL）．

∴DM＝DG.

∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5.

∴MN＝CD－DM－CN＝9－5＝4.

∵四边形EFNM是矩形，

∴EF＝MN＝4.

14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指（D）

A．S长方形ABMN＝S长方形MNDC

B．S长方形EBMF＝S长方形AEFN

C．S长方形AEFN＝S长方形MNDC

D.S长方形EBMF＝S长方形NFGD

第2课时　菱形

重难点　菱形的性质与判定

　在菱形ABCD中，对角线AC与B