与圆有关的最值(取值范围)问题-附详细答案.docx
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与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案
姓名
1.在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.
2.如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b.
(1)求证:
AE=b+a;
(2)求a+b的最大值;
(3)若m是关于x的方程:
x2+ax=b2+ab的一个根,求m的取值范围.
3.如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,
P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为().A.3B.6C.D.
4.如图,A点的坐标为(﹣2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P(m,n)为⊙A上的一个动点,请探索n+m的最大值.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是.
6.如图是某种圆形装置的示意图,圆形装置中,⊙O的直径AB=5,AB的不同侧有定点C和动点P,tan∠CAB=.其运动过程是:
点P在弧AB上滑动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)当PC= 时,CQ与⊙O相切;此时CQ= .
(2)当点P运动到与点C关于AB对称时,求CQ的长;
(3)当点P运动到弧AB的中点时,求CQ的长.
(4)在点P的运动过程中,线段CQ长度的取值范围为。
7.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为.
8.如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是 .
9.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x=时,PD•CD的值最大,且最大值是为.
10.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为().
A.4 B.C. D.2
11.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是.
14.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为( )A. B. C.3 D.2
15.(2015•济南)抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),交y轴于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标;
(3)如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.
16.如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点.
(1)判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)求线段CD长的最小值;
(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为 .
17.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为().
(A)4(B)(C)(D)
18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是().
A. B. C.5 D.
19.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为.
20.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为().A.B.C.3D.4
21.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是.
参考答案
引例1.解:
C在以A为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得:
OC=,∵∠BOA=∠ACO=90°,
∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan∠BOC=tan∠OAC==,
随着C的移动,∠BOC越来越大,∵C在第一象限,∴C不到x轴点,即∠BOC<90°,
∴tan∠BOC≥,故答案为:
m≥.
引例1图引例2图
引例2.;
原题:
(2013•武汉模拟)如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b.
(1)求证:
AE=b+a;
(2)求a+b的最大值;
(3)若m是关于x的方程:
x2+ax=b2+ab的一个根,求m的取值范围.
【考点】圆的综合题.
【分析】
(1)首先连接BE,由△OAB为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E的度数,又由AB为⊙D的直径,可求得CE的长,继而求得AE=b+a;
(2)首先过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)2=
a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案;
(3)由x2+ax=b2+ab,可得(x﹣b)(x+b+a)=0,则可求得x的值,继而可求得m的取值范围.
【解答】解:
(1)连接BE,∵△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,
∵AB为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+a;
(2)过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a2+b2=1,
∵S△ABC=AC•BC=AB•CH,∴AC•BC=AB•CH,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b≤,
故a+b的最大值为,
(3)∵x2+ax=b2+ab,∴x2﹣b2+ax﹣ab=0,∴(x+b)(x﹣b)+a(x﹣b)=0,
∴(x﹣b)(x+b+a)=0,∴x=b或x=﹣(b+a),
当m=b时,m=b=AC<AB=1,∴0<m<1,
当m=﹣(b+a)时,由
(1)知AE=﹣m,又∵AB<AE≤2AO=2,∴1<﹣m≤2,
∴﹣2≤m<﹣1,∴m的取值范围为0<m<1或﹣2≤m<﹣1.
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
引例3.解:
连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°.∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,
∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA.当P与A、O共线时,且在O点右侧时,⊙P直径最大.
∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,
∴AO==2,AP=2+1=3,∴DE=PA=3.故答案为:
D。
【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题,解题的关键是找出DE与AP之间的关系,再解决切线的性质来解决问题.本题属于中等难度题,难点在于找到DE与半径AP之间的关系,只有找到DE与AP之间的关系,才能说明当A、O、P三点共线时DE最大.
引例3图
例一、斜率运用
【考点】切线的性质;坐标与图形性质.【专题】探究型.
【分析】设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上,易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为(0,k),于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时,k的值最大;直线y=﹣x+k与x轴交于点C,切⊙A于P,作PD⊥x轴于D,AE⊥PD于E,连接AB,如图,则C(k,0),利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°,则△PCD为等腰直角三角形,接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB,AP⊥PC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,所以四边形ABDE为矩形,∠APE=45°,则DE=AB=1,PE=AP=,所以PD=PE+DE=+1,然后在Rt△PCD中,利用PC=PD得到2+k=(+1),解得k=﹣1,从而得到n+m的最大值为﹣1.
【解答】解:
设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上,当x=0时,y=k,即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为(0,k),所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时,k的值最大,
直线y=﹣x+k与x轴交于点C,切⊙A于P,作PD⊥x轴于D,AE⊥PD于E,连接AB,如图,
当y=0时,﹣x+k=0,解得x=k,则C(k,0),∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到,∴∠PCD=45°,∴△PCD为等腰直角三角形,∵CP和OB为⊙A的切线,∴AB⊥OB,AP⊥PC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,∴四边形ABDE为矩形,∠APE=45°,∴DE=AB=1,
∵△APE为等腰直角三角形
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