学年高中数学人教A版必修四 章末综合测评2 Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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,则
·
a2B.-
a2
a2D.
【解析】 由已知条件得
a·
acos30°
a2,故选D.
【答案】 D
4.(2015·
陕西高考)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·
b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·
(a-b)=a2-b2
【解析】 根据a·
b=|a||b|cosθ,又cosθ≤1,知|a·
b|≤|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同时,|a-b|>
||a|-|b||,B不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a·
b+b2=(a+b)2,C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b)·
(a-b)=a2-b2,D恒成立.
【答案】 B
5.(2015·
重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
A.
B.
【解析】 ∵a⊥(2a+b),∴a·
(2a+b)=0,
∴2|a|2+a·
b=0,
即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.
∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-
,∴〈a,b〉=
π.
【答案】 C
6.(2015·
安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足
=2a,
=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1B.a⊥b
C.a·
b=1D.(4a+b)⊥
【解析】 在△ABC中,由
=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以a·
b=|a||b|cos120°
=-1,所以(4a+b)·
=(4a+b)·
b=4a·
b+|b|2=4×
(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥
,故选D.
7.(2016·
锦州高一检测)已知向量a=(2,1),a·
b=10,|a+b|=
,则|b|=( )
A.0B.2
C.5D.25
【解析】 因为a=(2,1),则有|a|=
,又a·
b=10,
又由|a+b|=
,
∴|a|2+2a·
b+|b|2=50,
即5+2×
10+|b|2=50,
所以|b|=5.
8.已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,设
=a,
=b,则
等于( )
图1
【导学号:
00680065】
a+
b
B.
a-
D.-
【解析】
=2
+
a+
b.
9.(2016·
景德镇期末)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b的夹角为( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
【解析】 设向量a、b夹角为θ,
|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ,
则cosθ=-
又θ∈[0°
,180°
],∴θ=120°
.故选B.
10.(2016·
西城高一检测)在矩形ABCD中,AB=
,BC=1,E是CD上一点,且
=1,则
的值为( )
A.3B.2
【解析】 设
与
的夹角为θ,则
的夹角为
-θ,
又
∥
,故有
夹角为
-θ,如图:
∵
=|
|·
|
cosθ=
cosθ=1,
∴|
∴
|cos
|sinθ=1,
(
)=
=1+1=2.
11.(2016·
济南高一检测)已知向量
=(2,2),
=(4,1),在x轴上有一点P,使
有最小值,则P点坐标为( )
A.(-3,0)B.(3,0)
C.(2,0)D.(4,0)
【解析】 设P(x,0),则有
=(x-2,0-2)·
(x-4,0-1)
=(x-2)(x-4)+2
=x2-6x+10
=(x-3)2+1,
当x=3时,(
)min=1,
此时P点坐标为(3,0).
12.(2014·
天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°
,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若
=1,
=-
,则λ+μ=( )
【解析】 如图:
∠BAD=120°
,|
|=|
|=2.
=(
)(
)
+μ
+λ
=λ
2+μ
2+(λμ+1)
=4(λ+μ)+(λμ+1)×
4×
cos120°
=4(λ+μ)-2(λμ+1)=1,
即2λμ-4(λ+μ)+3=0,①
由
)=(λ-1)·
(μ-1)·
=-2(λ-1)(μ-1)=-
所以有λμ=λ+μ-
,代入①得
2
-4(λ+μ)+3=0,
解得λ+μ=
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.(2014·
湖北高考)若向量
=(1,-3),|
|,
=0,则|
|=________.
【解析】 因为
=(1,-3),
又|
|=
=0,
所以∠AOB=90°
,所以△AOB为等腰直角三角形,且|
|=2
【答案】 2
14.(2015·
江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
【解析】 ∵ma+nb=(2m+n,m-2n)
=(9,-8),
∴m-n=2-5=-3.
【答案】 -3
15.(2015·
湖北高考)已知向量
⊥
|=3,则
=________.
,所以
=0,所以
|2=9,即
=9.
【答案】 9
16.(2015·
北京高考)在△ABC中,点M,N满足
.若
=x
+y
,则x=________;
y=________.
【解析】 ∵
,∴
),
)-
,∴x=
,y=-
【答案】
-
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)不共线向量a,b的夹角为小于120°
的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.
【解】 |c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·
b+4|b|2=17+8cosθ(其中θ为a与b的夹角).
因为0°
<
θ<
120°
所以-
cosθ<
1,
|c|<
5,
所以|c|的取值范围为(
,5).
18.(本小题满分12分)(2016·
无锡高一检测)设
=(2,-1),
=(3,0),
=(m,3).
(1)当m=8时,将
用
和
表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
【解】
(1)m=8时,
=(8,3),
设
=λ1
+λ2
∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)
=(2λ1+3λ2,-λ1),
解得
=-3
(2)若A,B,C三点能构成三角形,
则有
不共线,
=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×
4-(m-2)×
1≠0,
∴m≠6.
19.(本小题满分12分)设i,j是平面直角坐标系中x轴和y轴正方向上的单位向量,
=4i-2j,
=7i+4j,
=3i+6j,求四边形ABCD的面积.
【解】 因为
=(4i-2j)·
(3i+6j)=3×
4-2×
6=0,
又因为
=7i+4j=4i-2j+3i+6j
所以四边形ABCD为平行四边形,
,所以四边形ABCD为矩形.
所以S四边形ABCD=|
|×
×
=30.
20.(本小题满分12分)设e1,e2是正交单位向量,如果
=2e1+me2,
=ne1-e2,
=5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值.
【解】 以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,
=(2,m),
=(n,-1),
=(5,-1),
=(3,-1-m),
=(5-n,0),
又因为A,B,C三点在一条直线上,所以
所以3×
0-(-1-m)·
(5-n)=0,与m=2n构成方程组
或
21.(本小题满分12分)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=
,求证:
a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
【解】
(1)证明:
由题意得|a-b|2=2,
即(a-b)2=a2-2a·
b+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以2-2a·
b=2,即a·
b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
由①得,cosα=cos(π-β),
由0<β<π,得0<π-β<π.
又0<α<π,故α=π-β.
代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=
,而α>β,所以α=
,β=
22.(本小题满分12分)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|ka+b|=
|a-kb|(k>
0,k
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