高考数学复习同步练习 第2讲一元二次不等式及其解法Word格式.docx
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A.1∶2∶3B.2∶1∶3
C.3∶1∶2D.3∶2∶1
解析 ∵-c<
c,又a>
0,∴-
<
.
∵不等式的解集为{x|-2<
1},
∴
∴a∶b∶c=a∶
∶
=2∶1∶3.
答案 B
4.不等式(x2-2)log2x>
0的解集是( ).
A.(0,1)∪(
,+∞)B.(-
,1)∪(
,+∞)
C.(
,+∞)D.(-
,
)
解析 原不等式等价于
或
∴x>
或0<
1,即不等式的解集为(0,1)∪(
,+∞).
答案 A
5.已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>
1的解集为( ).
A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0)D.(0,1)
解析 ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>
0,
∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点,
又f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则f(-2)f(-1)<
∴(6a+5)(2a+3)<
a<
-
,又a∈Z,
∴a=-1,不等式f(x)>
1即为-x2-x>
解得-1<
0.
答案 C
6.设函数f(x)=
若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( ).
A.(-∞,-3]∪[-1,+∞)B.[-3,-1]
C.[-3,-1]∪(0,+∞)D.[-3,+∞)
解析 当x≤0时,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故其对称轴为x=-
=-2,∴b=4.又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,当x≤0时,令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;
当x>0时,f(x)=-2≤1显然成立,故不等式的解集为
[-3,-1]∪(0,+∞).
二、填空题
7.已知关于x的不等式ax2+2x+c>
0的解集为
,则不等式-cx2+2x-a>
0的解集为________.
解析 由ax2+2x+c>
知a<
0,且-
为方程ax2+2x+c=0的两个根,由根与系数的关系得-
+
=-
,-
×
=
,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a>
0,即2x2-2x-12<
0,其解集为(-2,3).
答案 (-2,3)
8.已知函数f(x)=
则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________.
解析 由函数f(x)的图象可知(如下图),满足f(1-x2)>f(2x)分两种情况:
①
⇒0≤x<
-1.
②
⇒-1<x<0.
综上可知:
-1<x<
答案 (-1,
-1)
9.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>
0恒成立,则b的取值范围是________.
解析 依题意,f(x)的对称轴为x=1,且开口向下,
∴当x∈[-1,1]时,f(x)是增函数.
若f(x)>
0恒成立,则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>
0,即b2-b-2>
0,∴(b-2)(b+1)>
0,∴b>
2或b<
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
10.设a∈R,若x>
0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.
解析 显然a=1不能使原不等式对x>
0恒成立,故a≠1且当x1=
,a≠1时原不等式成立.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x2<
x3,易知x2<
0,x3>
0.当x>
0时,原不等式恒成立,故x1=
满足方程x2-ax-1=0,代入解得a=
或a=0(舍去).
答案
三、解答题
11.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<
n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>
0的解集;
(2)若a>
0,且0<
m<
n<
,比较f(x)与m的大小.
解
(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>
0,即a(x+1)(x-2)>
当a>
0时,不等式F(x)>
0的解集为{x|x<
-1或x>
2};
当a<
0的解集为{x|-1<
2}.
(2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),
∵a>
,∴x-m<
0,1-an+ax>
∴f(x)-m<
0,即f(x)<
m.
12.已知不等式ax2-3x+6>
4的解集为{x|x<
1或x>
b},
(1)求a,b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<
解
(1)因为不等式ax2-3x+6>
b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>
1.
由根与系数的关系,得
解得
(2)由
(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<
0为x2-(2+c)x+2c<
0,即(x-2)(x-c)<
①当c>
2时,不等式(x-2)(x-c)<
0的解集为{x|2<
c};
②当c<
0的解集为{x|c<
③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<
0的解集为∅.
综上所述:
当c>
2时,不等式的解集为{x|2<
当c<
2时,不等式的解集为{x|c<
当c=2时,不等式的解集为∅.
13.已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R).
(1)当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?
(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.
解
(1)根据题意,m≠1且Δ>
即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>
0,得m2>
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下,
因为
=m-2,
所以
2-
=(m-2)2+2(m-1)≤2.
得m2-2m≤0,所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<
1或1<
m≤2}.
14.设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
注 e为自然对数的底数.
解
(1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,
所以f′(x)=
-2x+a=-
由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).
(2)由题意得,f
(1)=a-1≥e-1,即a≥e.
由
(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,
要使e-1≤f(x)≤e2,对x∈[1,e]恒成立,
只要
解得a=e.
第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
1.不等式x-2y>0表示的平面区域是( ).
解析 将点(1,0)代入x-2y得1-2×
0=1>0.
答案 D
2.设实数x,y满足不等式组
若x,y为整数,则3x+4y的最小值是( ).
A.14B.16C.17D.19
解析 线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2),对于点(4,1),3x+4y=3×
4+4×
1=16;
对于点(3,2),3x+4y=3×
3+4×
2=17,因此3x+4y的最小值为16.
3.若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,5)B.[7,+∞)
C.[5,7)D.(-∞,5)∪[7,+∞)
解析 画出可行域,知当直线y=a在x-y+5=0与y轴的交点(0,5)和x-y+5=0与x=2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形.故5≤a<
7.
4.设实数x,y满足条件
若目标函数z=ax+by(a>0,
b>0)的最大值为12,则
的最小值为( ).
A.
B.
C.
D.4
解析 由可行域可得,当x=4,y=6时,目标函数z=ax+by取得最大值,∴4a+6b=12,即
=1.∴
·
≥
+2=
5.实数x,y满足
若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为( ).
A.4B.3C.2D.
解析 作出可行域,由题意可知可行域为△ABC内部及边界,y=-x+z,则z的几何意义为直线在y轴上的截距,将目标函数平移可知当直线经过点A时,目标函数取得最大值4,此时A点坐标为(a,a),代入得4=a+a=2a,所以a=2.
6.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;
生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ).
A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元
解析 设某公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为
目标函数z=300x+400y.
作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:
3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由
得B(4,4),满足题意,所以zmax=4×
300+4×
400=2800.
7.若x,y满足约束条件
则z=3x-y的最小值为________.
解析 画出可行域,如图所示,将直线y=3x-z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大,zmin=3×
0-1=-1.
答案 -1
8.若x,y满足约束条件
则x-y的取值范围是________.
解析 记z=x-y,则y=x-z,所以z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数,画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示.结合图形可知,当直线经过点B(1,1)时,x-y取得最大值0,当直线经过点C(0,3)时,x-y取得最小值-3.
答案 [-3,0]
9.设实数x、y满足
则
的最大值是________.
解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分.
设
=t,则y=tx,求
的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过A点时,t最大.
由
解得A
代入y=tx,得t=
.所以
的最大值为
10.设m>
1,在约
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- 高考数学复习同步练习 第2讲 一元二次不等式及其解法 高考 数学 复习 同步 练习 一元 二次 不等式 及其 解法