密码学数学基础习题集.doc
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北京电子科技学院
《密码学数学基础》习题集
信息安全系密码教研室
2015年10月
目
录
第一章带余除法...................................................................................................3
一、整数的最大公因子及其表示..................................................................3
二、多项式的最大公因子及其表示..............................................................7
三、标准分解和最小公倍数..........................................................................9
四、其他类型题............................................................................................11
第二章
同余方程...............................................................................................12
一、同余性质(剩余系)............................................................................12
二、模幂运算................................................................................................14
三、模逆运算................................................................................................16
四、一次同余方程求解................................................................................18
第三章原根计算.................................................................................................26
一、阶、原根、指数....................................................................................26
二、阶的计算................................................................................................30
三、原根的计算............................................................................................32
四、综合........................................................................................................36
第四章二次剩余.................................................................................................38
第五讲
群...........................................................................................................49
一、群的概念................................................................................................49
二、循环群的生成元求解(可求原根).........................................................49
三、子群及其陪集........................................................................................50
四、置换群上的计算....................................................................................53
五、群同态....................................................................................................54
第六章
环的性质...............................................................................................55
一、环的概念................................................................................................55
二、商环........................................................................................................57
第七章
域上计算...............................................................................................58
第一章带余除法
重点概念:
最大公因子、辗转相除法、标准分解式
重点内容:
用辗转相除法求解最大公因子及其表示。
一、整数的最大公因子及其表示
1.(288,392)=
8
,
2.设a=1435,b=3371,计算(a,b)。
答:
3371=2?
1435+501
1435=2?
501+433
501=433+68
433=6?
68+25
68=2?
25+18
25=18+7
18=2?
7+4
7=4+3
4=3+1
3=3?
1
所以(1435,3371)=1
3.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162)。
答:
用辗转相除法,如下表计算:
x
-y
q
1387
1
0
162
0
1
8
91
1
-8
1
71
-1
9
1
20
2
-17
3
11
-7
60
1
9
9
-77
1
2
-16
137
4
1
73
-625
x=73,y=625,(1387,162)=1.
4.计算:
(27090,21672,11352)。
答:
(27090,21672,11352)=(4386,10320,11352)=(4386,1548,2580)
=(1290,1548,1032)=(258,516,1032)=(258,0,0)=258。
5.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子。
(1)(1046,697)
(2)(20301044)
解:
(1)1046=1´697+349
697=1´349+348
349=1?
348+1
348=348?
1
因此(1046,697)=1
(2)
2030=1?
1044+986
1044=1?
986+58
986=17?
58
因此(20301044)=58
6.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子
(1)(2104,2720,1046)
(2)(27090,21672,11352)
解:
(1)先求出(2104,2720)的公因子d1,再求(d1,1046)的公因子d2,d2即为最
终要求的公因子。
因此:
2720=1?
2104+616
2104=3?
616+256
616=2?
256+104
256=2?
104+48
104=2?
48+8
48=6?
8
因此(2104,2720)=8,再求(8,1046),
1046=130?
8+6,
,
8=1?
6+2
6=3?
2
因此(2104,2720,1046)=2
(2)先求出(27090,21672)的公因子d1,再求(d1,11352)的公因子d2,d2即为
最终要求的公因子。
因此:
27090=1?
21672+5418
21672=4?
5418
因此(27090,21672)=5418,再求(5418,11352),
11352=2?
5418+516
5418=10?
516+258
516=2?
258
因此(27090,21672,11352)=258
7.用辗转相除法求以下数组的最大公因子,并把它表示为这些数的整系数线性组
合。
(1)1387,162
(2)2046,1620
解:
(1)用列表法可求出(1387,162)的公因子及相应的系数组合,如表1所示:
表1求(1387,162)的公因子及相应系数
u
v
q
1387
1
0
162
91
71
20
11
9
2
0
1
-1
2
-7
9
-16
1
-8
9
-17
60
-77
137
8
1
1
3
1
1
4
1
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