算法设计与分析教案.docx
- 文档编号:1330353
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:91
- 大小:1.45MB
算法设计与分析教案.docx
《算法设计与分析教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《算法设计与分析教案.docx(91页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
算法设计与分析教案
《算法设计与分析》教案
张静
第1章绪论
算法理论的两大论题:
1.算法设计
2.算法分析
1.1算法的基本概念
1.1.1为什么要学习算法
理由1:
算法——程序的灵魂
Ø问题的求解过程:
分析问题→设计算法→编写程序→整理结果
Ø程序设计研究的四个层次:
算法→方法学→语言→工具
理由2:
提高分析问题的能力
算法的形式化→思维的逻辑性、条理性
1.1.2算法及其重要特性
算法(Algorithm):
对特定问题求解步骤的一种描述,是指令的有限序列。
算法的五大特性:
⑴输入:
一个算法有零个或多个输入。
⑵输出:
一个算法有一个或多个输出。
⑶有穷性:
一个算法必须总是在执行有穷步之后结束,且每一步都在有穷时间内完成。
⑷确定性:
算法中的每一条指令必须有确切的含义,对于相同的输入只能得到相同的输出。
⑸可行性:
算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
1.1.3算法的描述方法
⑴自然语言
优点:
容易理解
缺点:
冗长、二义性
使用方法:
粗线条描述算法思想
注意事项:
避免写成自然段
欧几里德算法
⑶程序设计语言
优点:
能由计算机执行
缺点:
抽象性差,对语言要求高
使用方法:
算法需要验证
注意事项:
将算法写成子函数
欧几里德算法
#include
intCommonFactor(intm,intn)
{
intr=m%n;
while(r!
=0)
{
m=n;
n=r;
r=m%n;
}
returnn;
}
voidmain()
{
cout< } ⑷伪代码——算法语言 伪代码(Pseudocode): 介于自然语言和程序设计语言之间的方法,它采用某一程序设计语言的基本语法,操作指令可以结合自然语言来设计。 优点: 表达能力强,抽象性强,容易理解 使用方法: 7±2 欧几里德算法 1.r=m%n; 2.循环直到r等于0 2.1m=n; 2.2n=r; 2.3r=m%n; 3.输出n; 1.1.4算法设计的一般过程 1.理解问题 2.预测所有可能的输入 3.在精确解和近似解间做选择 4.确定适当的数据结构 5.算法设计技术 6.描述算法 7.跟踪算法 8.分析算法的效率 9.根据算法编写代码 1.2算法分析 算法分析(AlgorithmAnalysis): 对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间进行估算 Ø时间复杂性(TimeComplexity) Ø空间复杂性(SpaceComplexity) 算法分析的目的: Ø设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法 Ø选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者 时间复杂性分析的关键: Ø问题规模: 输入量的多少; Ø基本语句: 执行次数与整个算法的执行时间 成正比的语句 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) x++; 问题规模: n 基本语句: x++ 1.2.1渐进符号 1.大O符号 定义1.1若存在两个正的常数c和n0,对于任意n≥n0,都有T(n)≤c×f(n),则称T(n)=O(f(n)) 2.大Ω符号 定义1.2若存在两个正的常数c和n0,对于任意n≥n0,都有T(n)≥c×g(n),则称T(n)=Ω(g(n)) 3.Θ符号 定义1.3若存在三个正的常数c1、c2和n0,对于任意n≥n0都有c1×f(n)≥T(n)≥c2×f(n),则称T(n)=Θ(f(n)) 例: T(n)=5n2+8n+1 当n≥1时,5n2+8n+1≤5n2+8n+n =5n2+9n≤5n2+9n2≤14n2=O(n2) 当n≥1时,5n2+8n+1≥5n2=Ω(n2) ∴当n≥1时,14n2≥5n2+8n+1≥5n2 则: 5n2+8n+1=Θ(n2) 定理1.1若T(n)=amnm+am-1nm-1+…+a1n+a0(am>0),则有T(n)=O(nm)且T(n)=Ω(nm),因此,有T(n)=Θ(nm)。 1.2.2最好、最坏和平均情况 例: 在一维整型数组A[n]中顺序查找与给定值k相等的元素(假设该数组中有且仅有一个元素值为k) intFind(intA[],intn) { for(i=0;i if(A[i]==k)break; returni; } 结论: 如果问题规模相同,时间代价与输入数据有关,则需要分析最好情况、最坏情况、平均情况。 ✓最好情况: 出现概率较大时分析 ✓最差情况: 实时系统 ✓平均情况: 已知输入数据是如何分布的, 通常假设等概率分布 1.2.3非递归算法的分析 算法——非递归算法、递归算法 例: 求数组最小值算法 intArrayMin(inta[],intn) { min=a[0]; for(i=1;i if(a[i] returnmin; } 非递归算法分析的一般步骤: 1.决定用哪个(或哪些)参数作为算法问题规模的度量 2.找出算法中的基本语句 3.检查基本语句的执行次数是否只依赖于问题规模 4.建立基本语句执行次数的求和表达式 5.用渐进符号表示这个求和表达式 v关键: 建立一个代表算法运行时间的求和表达式,然后用渐进符号表示这个求和表达式。 1.2.4递归算法的分析 关键: 根据递归过程建立递推关系式,然后求解这个递推关系式。 1.猜测技术: 对递推关系式估计一个上限,然后(用数学归纳法)证明它正确。 2.扩展递归技术 3.通用分治递推式 大小为n的原问题分成若干个大小为n/b的子问题,其中a个子问题需要求解,而cnk是合并各个子问题的解需要的工作量。 1.2.5算法的后验分析 算法的后验分析(Posteriori)也称算法的实验分析,它是一种事后计算的方法,通常需要将算法转换为对应的程序并上机运行。 一般步骤: 1.明确实验目的 2.决定度量算法效率的方法,为实验准备算法的程序实现 3.决定输入样本,生成实验数据 4.对输入样本运行算法对应的程序,记录得到的实验数据 5.分析得到的实验数据 表格法记录实验数据 散点图记录实验数据 第4章分治法 4.1概述 4.1.1分治法的设计思想 将一个难以直接解决的大问题,划分成一些规模较小的子问题,以便各个击破,分而治之。 更一般地说,将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题,对这k个子问题分别求解。 如果子问题的规模仍然不够小,则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题,如此分解下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止,再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原问题的解。 启发式规则: 1.平衡子问题: 最好使子问题的规模大致相同。 也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题(通常k=2),这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(Balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 2.独立子问题: 各子问题之间相互独立,这涉及到分治法的效率,如果各子问题不是独立的,则分治法需要重复地解公共的子问题。 分治法的典型情况 4.1.2分治法的求解过程 一般来说,分治法的求解过程由以下三个阶段组成: (1)划分: 既然是分治,当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题,并尽量使这k个子问题的规模大致相同。 (2)求解子问题: 各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的,可以用递归的方法求解各个子问题,有时递归处理也可以用循环来实现。 (3)合并: 把各个子问题的解合并起来,合并的代价因情况不同有很大差异,分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。 分治法的一般过程 DivideConquer(P) { if(P的规模足够小)直接求解P; 分解为k个子问题P1,P2,…Pk; for(i=1;i<=k;i++) yi=DivideConquer(Pi); returnMerge(y1,…,yk); } 例: 计算an,应用分治技术得到如下计算方法: 4.2递归 4.2.1递归的定义 递归就是子程序(或函数)直接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己,是一种描述问题和解决问题的基本方法。 递归有两个基本要素: ⑴边界条件: 确定递归到何时终止; ⑵递归模式: 大问题是如何分解为小问题的,确定递归体。 4.2.2递归函数的运行轨迹 在递归函数中,调用函数和被调用函数是同一个函数,需要注意的是递归函数的调用层次,如果把调用递归函数的主函数称为第0层,进入函数后,首次递归调用自身称为第1层调用;从第i层递归调用自身称为第i+1层。 反之,退出第i+1层调用应该返回第i层。 采用图示方法描述递归函数的运行轨迹,从中可较直观地了解到各调用层次及其执行情况。 4.2.3递归函数的内部执行过程 一个递归函数的调用过程类似于多个函数的嵌套调用,只不过调用函数和被调用函数是同一个函数。 为了保证递归函数的正确执行,系统需设立一个工作栈。 具体地说,递归调用的内部执行过程如下: (1)运行开始时,首先为递归调用建立一个工作栈,其结构包括值参、局部变量和返回地址; (2)每次执行递归调用之前,把递归函数的值参和局部变量的当前值以及调用后的返回地址压栈; (3)每次递归调用结束后,将栈顶元素出栈,使相应的值参和局部变量恢复为调用前的值,然后转向返回地址指定的位置继续执行。 汉诺塔算法在执行过程中,工作栈的变化下图所示,其中栈元素的结构为(返回地址,n值,A值,B值,C值),返回地址对应算法中语句的行号。 递归算法结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此,它为设计算法和调试程序带来很大方便,是算法设计中的一种强有力的工具。 但是,因为递归算法是一种自身调用自身的算法,随着递归深度的增加,工作栈所需要的空间增大,递归调用时的辅助操作增多,因此,递归算法的运行效率较低。 4.3排序问题中的分治法 4.3.1归并排序 二路归并排序的分治策略是: (1)划分: 将待排序序列r1,r2,…,rn划分为两个长度相等的子序列r1,…,rn/2和rn/2+1,…,rn; (2)求解子问题: 分别对这两个子序列进行排序,得到两个有序子序列; (3)合并: 将这两个有序子序列合并成一个有序序列。 算法4.3——归并排序 voidMergeSort(intr[],intr1[],ints,intt) { if(s==t)r1[s]=r[s]; else{ m=(s+t)/2; Mergesort(r,r1,s,m);//归并排序前半个子序列 Mergesort(r,r1,m+1,t);//归并排序后半个子序列 Merge(r1,r,s,m,t);//合并两个已排序的子序列 } } 算法4.4——合并有序子序列 voidMerge
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 算法 设计 分析 教案